Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable (auch Zufallsgröße) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis \(\omega\) eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl \(X(\omega)\) zuordnet. Man schreibt kurz \(X\).
\(\Omega\) ist der Grundraum des Zufallsversuchs.
Zufallsversuch: Zwei Würfel werden geworfen.
Zufallsvariable \(X\) = Augensumme.
Bei Ergebnis \(\omega = (3, 5)\) ist \(X(\omega) = 3 + 5 = 8\).
Die möglichen Werte von \(X\) sind: \(2, 3, 4, \ldots, 12\).
Diskrete vs. stetige Zufallsvariablen
Zufallsvariablen werden nach der Art ihrer möglichen Werte unterschieden:
| Eigenschaft | Diskret | Stetig |
|---|---|---|
| Wertebereich | Endlich oder abzählbar viele Werte | Überabzählbar viele Werte (Intervall) |
| Beispiele | Augenzahl, Anzahl Treffer | Körpergröße, Temperatur |
| Wahrscheinlichkeit | \(P(X = x_i)\) direkt angebbar | \(P(X = x) = 0\), nur Intervalle |
| Beschreibung | Verteilungstabelle | Dichtefunktion \(f(x)\) |
Merke: Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert immer 0. Man berechnet stattdessen Wahrscheinlichkeiten für Intervalle: \(P(a \leq X \leq b)\).
Wahrscheinlichkeitsverteilung & Verteilungstabelle
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable gibt an, welche Werte \(X\) annehmen kann und mit welcher Wahrscheinlichkeit.
Zufallsvariable \(X\) = Augenzahl beim Wurf eines fairen Würfels.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x_i)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
Es gilt: \(\sum_{i=1}^{6} P(X = x_i) = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1\) ✓
Ein Würfel ist so gezinkt, dass die 6 doppelt so häufig fällt wie jede andere Zahl.
Ansatz: \(P(X = k) = p\) für \(k = 1, \ldots, 5\) und \(P(X = 6) = 2p\).
\(5p + 2p = 1 \Rightarrow 7p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{7}\)
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x_i)\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{2}{7}\) |
Übungen
Welche Aussage über eine Zufallsvariable ist korrekt?
Welches der folgenden Beispiele beschreibt eine stetige Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable \(X\) hat die Werte 1, 2, 3 mit \(P(X=1) = 0{,}3\) und \(P(X=2) = 0{,}5\). Wie groß ist \(P(X=3)\)?
Zwei Münzen werden geworfen. \(X\) = Anzahl von Kopf. Welche Verteilungstabelle ist korrekt?