Erwartungswert \(E(X)\)
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable \(X\) ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte, wobei die Gewichte die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind.
Man spricht auch vom „erwarteten Wert" oder \(\mu\) (Mu).
\(X\) = Augenzahl. Alle Werte haben die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\).
\(E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5\)
Im Durchschnitt erwartet man also eine Augenzahl von 3,5.
Interpretation: Der Erwartungswert muss kein tatsächlich möglicher Wert der Zufallsvariable sein! Beim Würfel kann man keine 3,5 würfeln – aber im Mittel über viele Würfe ergibt sich dieser Wert.
Varianz \(\text{Var}(X)\)
Die Varianz misst, wie stark die Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert streuen. Je größer die Varianz, desto weiter liegen die Werte im Durchschnitt vom Erwartungswert entfernt.
Auch: \(\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)\)
Wir wissen: \(E(X) = 3{,}5\).
\(E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17\)
\(\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92\)
Standardabweichung \(\sigma\)
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable selbst.
\(\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71\)
Die Werte weichen im Durchschnitt um ca. 1,71 vom Erwartungswert 3,5 ab.
Rechenregeln
Für Konstanten \(a, b \in \mathbb{R}\) gelten:
| Regel | Erwartungswert | Varianz |
|---|---|---|
| Lineartransformation | \(E(aX + b) = a \cdot E(X) + b\) | \(\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)\) |
| Summe (unabhängig) | \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\) | \(\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\) |
Beachte: Bei der Varianz fällt die additive Konstante \(b\) weg, und der Faktor \(a\) wird quadriert! Eine Verschiebung ändert die Streuung nicht, eine Skalierung schon.
Übungen
Eine Zufallsvariable \(X\) nimmt die Werte 0 und 1 an mit \(P(X=0) = 0{,}4\) und \(P(X=1) = 0{,}6\). Wie groß ist \(E(X)\)?
Eine Zufallsvariable hat die Werte 1, 2, 3 mit \(P(X=1) = 0{,}2\), \(P(X=2) = 0{,}5\), \(P(X=3) = 0{,}3\). Berechne \(E(X)\).
Gegeben: \(E(X) = 5\) und \(\text{Var}(X) = 4\). Wie groß ist die Standardabweichung \(\sigma\)?
Gegeben: \(E(X) = 3\), \(\text{Var}(X) = 2\). Wie groß ist \(\text{Var}(2X + 1)\)?
Eine Zufallsvariable \(X\) hat \(E(X) = 4\) und \(E(X^2) = 20\). Wie groß ist \(\text{Var}(X)\)?