Zufallsversuch
Ein Zufallsversuch (Zufallsexperiment) ist ein Vorgang, der:
- unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist,
- mehrere mögliche Ergebnisse hat,
- dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist.
- Einen Würfel werfen
- Eine Münze werfen
- Aus einer Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln ziehen
- Zwei Würfel gleichzeitig werfen
Kein Zufallsversuch: Das Ergebnis von \(2 + 3\) berechnen (immer 5), da das Ergebnis feststeht.
Grundraum (Ergebnisraum) \(\Omega\)
Der Grundraum \(\Omega\) (Omega) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs. Jedes einzelne Element von \(\Omega\) heißt Ergebnis (oder Ausgang).
\(\omega_i\) sind die einzelnen Ergebnisse, \(|\Omega|\) ist die Anzahl der Ergebnisse.
| Zufallsversuch | Grundraum \(\Omega\) | \(|\Omega|\) |
|---|---|---|
| Würfel werfen | \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) | 6 |
| Münze werfen | \(\{K, Z\}\) | 2 |
| Zwei Münzen werfen | \(\{KK, KZ, ZK, ZZ\}\) | 4 |
Ereignisse als Mengen
Ein Ereignis \(A\) ist eine Teilmenge des Grundraums: \(A \subseteq \Omega\). Ein Ereignis tritt ein, wenn das tatsächliche Ergebnis ein Element von \(A\) ist.
- \(A = \{2, 4, 6\}\) – „eine gerade Zahl würfeln", \(|A| = 3\)
- \(B = \{5, 6\}\) – „eine Zahl größer als 4 würfeln", \(|B| = 2\)
- \(A \cap B = \{6\}\) – „eine gerade Zahl größer als 4"
- \(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\) – „gerade oder größer als 4"
- \(\bar{A} = \{1, 3, 5\}\) – „keine gerade Zahl" (Gegenereignis)
| Bezeichnung | Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|---|
| Sicheres Ereignis | \(\Omega\) | Tritt immer ein |
| Unmögliches Ereignis | \(\emptyset\) | Tritt nie ein |
| Elementarereignis | \(\{\omega\}\) | Enthält genau ein Ergebnis |
| Gegenereignis | \(\bar{A}\) | A tritt nicht ein |
Mengenoperationen bei Ereignissen
Die Verknüpfung von Ereignissen entspricht Mengenoperationen:
- Vereinigung \(A \cup B\): „A oder B" (mindestens eines tritt ein)
- Durchschnitt \(A \cap B\): „A und B" (beide treten ein)
- Komplement \(\bar{A}\): „nicht A" (A tritt nicht ein)
- Unvereinbar: \(A \cap B = \emptyset\) (A und B können nicht gleichzeitig eintreten)
Übungen
Wie groß ist \(|\Omega|\) beim Werfen zweier Würfel, wenn man die Augensumme betrachtet?
Würfelwurf: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(A = \{1,3,5\}\), \(B = \{4,5,6\}\). Was ist \(A \cap B\)?
Was ist das Gegenereignis \(\bar{A}\) von \(A = \{2, 4, 6\}\) beim Würfeln?
Wie viele Ergebnisse hat der Grundraum beim gleichzeitigen Werfen zweier (unterscheidbarer) Würfel?