Allgemeine Multiplikationsregel
Die allgemeine Form der Multiplikationsregel lautet:
\(P(B|A)\) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.
Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
\(P(\text{1. rot} \cap \text{2. rot}) = P(\text{1. rot}) \cdot P(\text{2. rot}|\text{1. rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)
Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von \(A\) die Wahrscheinlichkeit von \(B\) nicht beeinflusst:
Bei unabhängigen Ereignissen vereinfacht sich die Multiplikationsregel, da \(P(B|A) = P(B)\):
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gewürfelt. Die Ergebnisse beeinflussen sich nicht.
\(P(\text{Kopf} \cap \text{6}) = P(\text{Kopf}) \cdot P(\text{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\)
Abhängige Ereignisse
Wenn das Eintreten von \(A\) die Wahrscheinlichkeit von \(B\) verändert, sind die Ereignisse abhängig. Man muss dann die bedingte Wahrscheinlichkeit verwenden.
Aus einem Skatblatt (32 Karten, 4 Asse) werden nacheinander 2 Karten gezogen.
\(P(\text{1. Ass} \cap \text{2. Ass}) = \frac{4}{32} \cdot \frac{3}{31} = \frac{12}{992} = \frac{3}{248} \approx 1{,}2\%\)
Nach dem Ziehen des ersten Asses sind nur noch 3 Asse unter 31 Karten – die Ereignisse sind abhängig!
Ziehen mit Zurücklegen macht Ziehungen unabhängig (die Karte wird wieder eingemischt). Ziehen ohne Zurücklegen macht Ziehungen abhängig (die Zusammensetzung ändert sich).
Unabhängigkeit überprüfen
Um zu prüfen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind, kontrolliert man:
Gilt Gleichheit, sind A und B unabhängig. Sonst abhängig.
Gegeben: \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\)
Prüfung: \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)\) ✓
Die Ereignisse sind unabhängig.
Übungen
Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist \(P(\text{Kopf, Kopf})\)?
Urne: 4 rote, 6 blaue Kugeln. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. \(P(\text{beide blau})\)?
\(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}6\), A und B unabhängig. Wie groß ist \(P(A \cap B)\)?
Gegeben: \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cap B) = 0{,}3\). Sind A und B unabhängig?
Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal eine 6 zu werfen?