Formale Definition

Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Dann gilt für jedes Ergebnis \(\omega \in \Omega\):

Gleichverteilung
\(P(\{\omega\}) = \frac{1}{|\Omega|} \quad \text{für alle } \omega \in \Omega\)

Für ein beliebiges Ereignis \(A \subseteq \Omega\) gilt dann:

Laplace-Wahrscheinlichkeit
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}\)

Voraussetzung: Die Laplace-Formel gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind! Ein gezinkter Würfel ist kein Laplace-Experiment.

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Aus der Definition folgen wichtige Eigenschaften (Axiome von Kolmogorow):

  • \(0 \leq P(A) \leq 1\) für jedes Ereignis \(A\)
  • \(P(\Omega) = 1\) (das sichere Ereignis hat Wahrscheinlichkeit 1)
  • \(P(\emptyset) = 0\) (das unmögliche Ereignis hat Wahrscheinlichkeit 0)
  • \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) (Gegenwahrscheinlichkeit)
Gegenwahrscheinlichkeit
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)

Oft ist es einfacher, die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen und dann \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\) zu verwenden.

Beispiele

Beispiel 1: Würfel

\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(|\Omega| = 6\)

Ereignis \(A\) = „gerade Zahl" = \(\{2, 4, 6\}\), \(|A| = 3\)

\(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\)

Beispiel 2: Zwei Würfel – Summe 7

\(\Omega\) enthält alle geordneten Paare \((i,j)\) mit \(i,j \in \{1,...,6\}\), also \(|\Omega| = 36\).

\(A = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\), \(|A| = 6\)

\(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%\)

Beispiel 3: Karten ziehen

Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. \(|\Omega| = 32\)

Ereignis: „ein Ass ziehen". Es gibt 4 Asse, also \(|A| = 4\).

\(P(\text{Ass}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 12{,}5\%\)

Gegenwahrscheinlichkeit nutzen

Manchmal ist das Gegenereignis einfacher zu zählen:

Beispiel: Mindestens eine 6 bei zwei Würfen
1
Gegenereignis \(\bar{A}\) = „keine 6 bei beiden Würfen"
2
Keine 6 beim ersten Wurf: 5 von 6 Möglichkeiten. Ebenso beim zweiten.
3
\(|\bar{A}| = 5 \cdot 5 = 25\), \(|\Omega| = 36\)
4
\(P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\%\)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel eine Zahl \(\geq 5\) zu werfen?

Aufgabe 2Mittel

Aus einer Urne mit 3 roten, 5 blauen und 2 grünen Kugeln wird eine gezogen. Wie groß ist \(P(\text{nicht blau})\)?

Aufgabe 3Mittel

Zwei faire Münzen werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Kopf?

Aufgabe 4Schwer

Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 10 beträgt?

Aufgabe 5Schwer

Welches der folgenden Experimente ist kein Laplace-Experiment?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 5 richtig