Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ereignis \(A\) eintritt, wenn bekannt ist, dass \(B\) bereits eingetreten ist.
Lies: „Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B"
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(A = \{2,4,6\}\) (gerade), \(B = \{4,5,6\}\) (größer als 3)
Interpretation: Wenn wir wissen, dass die Zahl größer als 3 ist, ist die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl \(\frac{2}{3}\) (statt \(\frac{1}{2}\)).
Vierfeldertafel
Die Vierfeldertafel ist ein übersichtliches Schema, um die gemeinsamen und einzelnen Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse darzustellen.
100 Personen wurden befragt, ob sie regelmäßig Sport treiben:
| Sport (S) | Kein Sport (\(\bar{S}\)) | Summe | |
|---|---|---|---|
| Männlich (M) | 30 | 20 | 50 |
| Weiblich (W) | 25 | 25 | 50 |
| Summe | 55 | 45 | 100 |
\(P(S|M) = \frac{P(S \cap M)}{P(M)} = \frac{30/100}{50/100} = \frac{30}{50} = 0{,}60\)
\(P(S|W) = \frac{25/100}{50/100} = \frac{25}{50} = 0{,}50\)
Tipp: In der Vierfeldertafel liest man bedingte Wahrscheinlichkeiten ab, indem man die Zeile (oder Spalte) der Bedingung als neuen „Grundraum" betrachtet.
Stochastische Unabhängigkeit prüfen
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, wenn das Wissen über \(B\) die Wahrscheinlichkeit von \(A\) nicht verändert:
\(\iff P(B|A) = P(B)\)
\(\iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Alle drei Bedingungen sind äquivalent – es reicht, eine davon zu prüfen.
Aus der Umfrage oben: Sind Sport (S) und Geschlecht (M) unabhängig?
\(P(S) = \frac{55}{100} = 0{,}55\) und \(P(S|M) = 0{,}60\)
Da \(P(S|M) = 0{,}60 \neq 0{,}55 = P(S)\), sind S und M nicht unabhängig.
Vorsicht bei der Umkehrung
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist nicht symmetrisch: \(P(A|B) \neq P(B|A)\) im Allgemeinen!
Häufiger Fehler: \(P(A|B)\) und \(P(B|A)\) werden verwechselt. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Fieber hat, wenn er krank ist (\(P(F|K)\)), ist etwas anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank ist, wenn er Fieber hat (\(P(K|F)\)).
Aus der Umfrage: \(P(M|S) = \frac{30}{55} \approx 0{,}545\), aber \(P(S|M) = \frac{30}{50} = 0{,}60\)
Die Werte sind verschieden!
Übungen
\(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Wie groß ist \(P(A|B)\)?
Sind die Ereignisse in Aufgabe 1 stochastisch unabhängig?
In einer Klasse sind 60 % Mädchen. 40 % der Mädchen und 30 % der Buben spielen ein Instrument. Wie groß ist \(P(\text{Instrument} | \text{Mädchen})\)?
Vierfeldertafel (absolute Häufigkeiten):
| B | \(\bar{B}\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| A | 12 | 8 | 20 |
| \(\bar{A}\) | 18 | 12 | 30 |
| Summe | 30 | 20 | 50 |
Wie groß ist \(P(A|B)\)?
Aus der Vierfeldertafel oben: Sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig?