Das Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm stellt einen mehrstufigen Zufallsversuch als Baum dar. Jede Stufe entspricht einem Teilversuch, die Äste zeigen die möglichen Ergebnisse und sind mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten beschriftet.

Aufbau: Der Baum beginnt mit einem Startknoten. Von jedem Knoten gehen Äste zu den möglichen Ergebnissen der nächsten Stufe ab. An jedem Ast steht die (bedingte) Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten an allen Ästen eines Knotens müssen sich zu 1 addieren.

Beispiel: Zweimaliges Münzwerfen

Stufe 1: Kopf (\(\frac{1}{2}\)) oder Zahl (\(\frac{1}{2}\))

Stufe 2: Wieder Kopf (\(\frac{1}{2}\)) oder Zahl (\(\frac{1}{2}\))

Pfade: KK, KZ, ZK, ZZ – jeweils mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

1. Pfadregel: Produktregel

Die Produktregel (1. Pfadregel) besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades ergibt sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.

Produktregel (1. Pfadregel)
\(P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Ast}) \cdot P(\text{2. Ast}) \cdot \ldots \cdot P(\text{n. Ast})\)

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Astwahrscheinlichkeiten.

Beispiel: Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, 2 Züge ohne Zurücklegen

Pfad „rot, dann blau":

\(P(R, B) = P(R_1) \cdot P(B_2|R_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)

2. Pfadregel: Summenregel

Die Summenregel (2. Pfadregel) besagt: Setzt sich ein Ereignis aus mehreren Pfaden zusammen, addiert man die Pfadwahrscheinlichkeiten.

Summenregel (2. Pfadregel)
\(P(A) = \sum_{\text{Pfade zu } A} P(\text{Pfad})\)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Beispiel: Genau eine rote Kugel (Urne: 3R, 2B, ohne Zurücklegen)

Pfade mit genau einer roten Kugel: (R, B) und (B, R)

1
\(P(R, B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\)
2
\(P(B, R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}\)
3
\(P(\text{genau 1 rot}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\)

Mit und ohne Zurücklegen

Je nachdem, ob gezogene Objekte zurückgelegt werden oder nicht, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen:

EigenschaftMit ZurücklegenOhne Zurücklegen
WahrscheinlichkeitenBleiben gleichÄndern sich pro Stufe
UnabhängigkeitStufen sind unabhängigStufen sind abhängig
GesamtzahlBleibt gleichNimmt ab
Vergleich: Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, P(beide rot)

Mit Zurücklegen: \(P(R,R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0{,}36\)

Ohne Zurücklegen: \(P(R,R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0{,}30\)

Tipp: Kontrolliere dein Baumdiagramm: An jedem Knoten müssen sich die Astwahrscheinlichkeiten zu 1 addieren. Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten muss ebenfalls 1 ergeben.

Dreistufige Versuche

Die Pfadregeln gelten für beliebig viele Stufen. Bei drei oder mehr Stufen wird das Baumdiagramm größer, aber das Prinzip bleibt gleich.

Beispiel: Dreimaliger Münzwurf – P(mindestens 2-mal Kopf)
1
Günstige Pfade: KKK, KKZ, KZK, ZKK
2
Jeder Pfad hat Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\)
3
\(P(\text{mind. 2 Kopf}) = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

In einem Baumdiagramm steht an den Ästen eines Knotens \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{2}{3}\). Welche Regel stellt sicher, dass das korrekt ist?

Aufgabe 2Mittel

Urne: 4 rote, 6 blaue Kugeln. Zwei Züge mit Zurücklegen. Wie groß ist \(P(\text{rot, blau})\)?

Aufgabe 3Mittel

Urne: 4 rote, 6 blaue Kugeln. Zwei Züge ohne Zurücklegen. Wie groß ist \(P(\text{rot, blau})\)?

Aufgabe 4Schwer

Zweimaliger Würfelwurf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine 6 zu werfen?

Aufgabe 5Schwer

In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Drei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist \(P(\text{alle drei blau})\)?

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