Unvereinbare Ereignisse

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen unvereinbar (disjunkt), wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können: \(A \cap B = \emptyset\).

Additionsregel für unvereinbare Ereignisse
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{falls } A \cap B = \emptyset\)
Beispiel: Würfel – 1 oder 6 werfen

\(A = \{1\}\), \(B = \{6\}\). Da \(A \cap B = \emptyset\):

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Die Regel lässt sich auf mehrere paarweise unvereinbare Ereignisse erweitern:

Verallgemeinerung
\(P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i)\)

gilt, falls alle \(A_i\) paarweise unvereinbar sind

Nicht-unvereinbare Ereignisse

Wenn sich \(A\) und \(B\) überschneiden können (\(A \cap B \neq \emptyset\)), würde man bei einfacher Addition die gemeinsamen Ergebnisse doppelt zählen. Daher muss man \(P(A \cap B)\) abziehen:

Allgemeine Additionsregel (Inklusion-Exklusion)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Beispiel: Würfel – gerade ODER größer als 4

\(A = \{2,4,6\}\) (gerade), \(B = \{5,6\}\) (größer als 4)

\(A \cap B = \{6\}\) (gerade UND größer als 4)

1
\(P(A) = \frac{3}{6}\), \(P(B) = \frac{2}{6}\), \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\)
2
\(P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Kontrolle: \(A \cup B = \{2,4,5,6\}\), also \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) ✓

Formel umstellen

Die Additionsregel kann nach \(P(A \cap B)\) umgestellt werden:

Nach \(P(A \cap B)\) aufgelöst
\(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\)
Beispiel: Gegeben \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cup B) = 0{,}7\)

\(P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}7 = 0{,}2\)

De-morgansche Regeln

Die Regeln von De Morgan verbinden Vereinigung und Durchschnitt über das Komplement:

De Morgan
\(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\)

„Nicht (A oder B)" = „nicht A und nicht B"

Anwendung: Wenn du \(P(\text{weder A noch B})\) suchst: \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)\)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Beim Würfeln: \(P(\text{1 oder 2 oder 3})\). Sind die Ereignisse unvereinbar?

Aufgabe 2Mittel

Gegeben: \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}1\). Berechne \(P(A \cup B)\).

Aufgabe 3Mittel

Gegeben: \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cup B) = 0{,}8\). Berechne \(P(A \cap B)\).

Aufgabe 4Schwer

In einer Klasse spielen 60 % Fußball (F), 40 % Basketball (B), 20 % beides. Wie viel Prozent spielen weder Fußball noch Basketball?

Aufgabe 5Schwer

Wenn \(A\) und \(B\) unvereinbar sind und \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}5\), wie groß ist \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\)?

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