Qualitätskontrolle
In der industriellen Fertigung wird die Stochastik zur Überwachung der Produktqualität eingesetzt. Man entnimmt Stichproben und entscheidet anhand der Ergebnisse, ob die Produktion den Qualitätsstandards entspricht.
Typische Fragestellung: Ein Hersteller gibt an, dass höchstens \(p_0 = 2\,\%\) seiner Produkte fehlerhaft sind. Eine Stichprobe wird entnommen, um diese Behauptung zu überprüfen.
Aus einer Produktion werden \(n = 500\) Stück entnommen. Davon sind 18 fehlerhaft.
\(\hat{p} = \frac{18}{500} = 0{,}036 = 3{,}6\,\%\)
Rechtsseitiger Test: \(H_0: p \leq 0{,}02\), \(H_1: p > 0{,}02\), \(\alpha = 0{,}05\)
\(Z = \frac{0{,}036 - 0{,}02}{\sqrt{\frac{0{,}02 \cdot 0{,}98}{500}}} = \frac{0{,}016}{0{,}00626} \approx 2{,}55\)
Da \(2{,}55 > 1{,}645\) wird \(H_0\) verworfen: Die Fehlerquote ist signifikant erhöht.
Medizinische Tests
Bei medizinischen Tests spielen Sensitivität und Spezifität eine zentrale Rolle. Diese Begriffe hängen eng mit bedingter Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes zusammen.
Positiver Vorhersagewert: Die entscheidende Frage für den Patienten ist: „Wie wahrscheinlich bin ich krank, wenn der Test positiv ist?" Das berechnet man mit dem Satz von Bayes:
\(P(\text{krank} \mid \text{Test } +) = \frac{P(\text{Test } + \mid \text{krank}) \cdot P(\text{krank})}{P(\text{Test } +)}\)
Sensitivität: 95 %, Spezifität: 98 %, Prävalenz: 1 %
\(P(\text{krank} \mid +) = \frac{0{,}95 \cdot 0{,}01}{0{,}95 \cdot 0{,}01 + 0{,}02 \cdot 0{,}99} = \frac{0{,}0095}{0{,}0095 + 0{,}0198} = \frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 0{,}324\)
Nur etwa 32 % der positiv Getesteten sind tatsächlich krank! Das liegt an der niedrigen Prävalenz.
Meinungsumfragen
Bei Meinungsumfragen wird aus einer Stichprobe auf die Meinung der Gesamtbevölkerung geschlossen. Die Genauigkeit hängt vom Stichprobenumfang ab.
Bei einer Umfrage mit \(n = 1000\) Befragten geben 340 an, Partei A zu wählen.
\(\hat{p} = 0{,}34\)
95 %-Konfidenzintervall: \(0{,}34 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}34 \cdot 0{,}66}{1000}} = 0{,}34 \pm 0{,}029\)
Partei A liegt mit 95 % Sicherheit zwischen 31,1 % und 36,9 %.
Schwankungsbreite in den Medien: Die oft genannte „statistische Schwankungsbreite von \(\pm 3\) Prozentpunkten" bei einer Umfrage mit 1000 Befragten entspricht genau dem 95 %-Konfidenzintervall mit \(\hat{p} \approx 0{,}5\).
Zusammenfassung: Methoden und Anwendungen
| Anwendung | Methode | Typische Fragestellung |
|---|---|---|
| Qualitätskontrolle | Signifikanztest | Fehlerquote zu hoch? |
| Medizinischer Test | Bayes / bedingte W. | Wie sicher ist ein positiver Test? |
| Meinungsumfrage | Konfidenzintervall | Wie groß ist die Unsicherheit? |
Übungen
Ein medizinischer Test hat eine Sensitivität von 99 % und eine Spezifität von 95 %. Was bedeutet die Spezifität?
Bei einer Qualitätskontrolle werden 300 Produkte geprüft, 12 sind fehlerhaft. Der Hersteller behauptet \(p \leq 0{,}03\). Wie lautet \(\hat{p}\)?
Warum ist der positive Vorhersagewert bei seltenen Krankheiten oft niedrig, selbst bei guten Tests?
Bei einer Umfrage mit \(n = 800\) geben 280 an, ein Produkt zu kennen. Berechne das 95 %-Konfidenzintervall für den Bekanntheitsgrad.
Ein Test hat 90 % Sensitivität und 99 % Spezifität. Die Prävalenz beträgt 5 %. Wie groß ist \(P(\text{krank} \mid \text{Test}+)\)?