Grundidee

Ist \(X \sim B(n, p)\), so gilt für großes \(n\) näherungsweise:

Normalapproximation
\(X \approx N(\mu, \sigma^2) \quad \text{mit} \quad \mu = n \cdot p, \quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)

Man standardisiert mit der z-Transformation:

z-Transformation
\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}\)

\(Z\) ist dann annähernd standardnormalverteilt: \(Z \approx N(0, 1)\).

Faustregel

Die Approximation ist brauchbar, wenn:

Faustregel für die Normalapproximation
\(n \cdot p \cdot (1-p) \geq 9\)

Alternativ: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \geq 9\), also \(\sigma \geq 3\).

Beispiel: Faustregel prüfen

\(X \sim B(100;\; 0{,}3)\): \(n \cdot p \cdot (1-p) = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 21 \geq 9\) ✔

\(X \sim B(50;\; 0{,}02)\): \(n \cdot p \cdot (1-p) = 50 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98 = 0{,}98 < 9\) ✘

Stetigkeitskorrektur

Da die Binomialverteilung diskret, die Normalverteilung aber stetig ist, verwendet man eine Stetigkeitskorrektur (Korrektur nach Yates):

Stetigkeitskorrektur
\(P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)\)

\(P(X \geq k) \approx 1 - \Phi\left(\frac{k - 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)\)

Merke: Bei \(P(X \leq k)\) wird \(k\) um \(+0{,}5\) korrigiert, bei \(P(X \geq k)\) um \(-0{,}5\). Für \(P(X = k)\) gilt: \(P(X = k) \approx \Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)\).

Beispiel: Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur

\(X \sim B(100;\; 0{,}4)\). Berechne \(P(X \leq 35)\).

\(\mu = 100 \cdot 0{,}4 = 40\), \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\)

Mit Stetigkeitskorrektur: \(z = \frac{35{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{-4{,}5}{4{,}899} \approx -0{,}919\)

\(P(X \leq 35) \approx \Phi(-0{,}919) \approx 0{,}179\)

Approximation ohne Stetigkeitskorrektur

In vielen Matura-Aufgaben wird die Stetigkeitskorrektur nicht verlangt. Dann gilt einfach:

Ohne Stetigkeitskorrektur
\(P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k - \mu}{\sigma}\right)\)
Beispiel: Ohne Stetigkeitskorrektur

Wie oben: \(X \sim B(100;\; 0{,}4)\), \(P(X \leq 35)\).

\(z = \frac{35 - 40}{4{,}899} \approx -1{,}021\)

\(P(X \leq 35) \approx \Phi(-1{,}021) \approx 0{,}154\)

(Exakter Wert: \(P(X \leq 35) \approx 0{,}176\) -- die Version mit Stetigkeitskorrektur ist genauer.)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Für welche der folgenden Binomialverteilungen ist die Normalapproximation nach der Faustregel zulässig?

Aufgabe 2Leicht

\(X \sim B(150;\; 0{,}4)\). Wie lauten \(\mu\) und \(\sigma\)?

Aufgabe 3Mittel

Bei der Berechnung von \(P(X \leq 45)\) mit Stetigkeitskorrektur, welcher Wert wird in den z-Bruch eingesetzt?

Aufgabe 4Schwer

\(X \sim B(400;\; 0{,}25)\). Berechne \(P(X \geq 110)\) mit Stetigkeitskorrektur. Welcher z-Wert ergibt sich?

Aufgabe 5Schwer

\(X \sim B(500;\; 0{,}6)\). Berechne näherungsweise \(P(290 \leq X \leq 310)\) ohne Stetigkeitskorrektur.

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