Typ-1-Aufgaben: Stochastik

Die Körpergrößen (in cm) von 6 Schülerinnen sind: 162, 170, 165, 175, 168, 172. Bestimme den Median.

Lösung:

Geordnete Reihe: 162, 165, 168, 170, 172, 175

Bei gerader Anzahl: \( \text{Median} = \frac{168 + 170}{2} = 169 \)

Ein Boxplot zeigt: Minimum = 12, \( Q_1 = 18 \), Median = 23, \( Q_3 = 30 \), Maximum = 42. Bestimme den Interquartilsabstand.

Lösung:

\( IQR = Q_3 - Q_1 = 30 - 18 = 12 \)

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.

Lösung:

\( P(\text{beide rot}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357 \)

Aus einer Vierfeldertafel ist bekannt: \( P(A) = 0{,}6 \), \( P(B) = 0{,}5 \), \( P(A \cap B) = 0{,}2 \). Berechne \( P(B \mid A) \).

Lösung:

\( P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}2}{0{,}6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \)

In einer Fabrik werden Bauteile hergestellt. Die Ausschussrate beträgt 8 %. Es werden 15 Bauteile zufällig ausgewählt. Bestimme die passende Verteilung und den Erwartungswert für die Anzahl fehlerhafter Teile.

Lösung:

Binomialverteilung mit \( n = 15 \), \( p = 0{,}08 \)

\( E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0{,}08 = 1{,}2 \)

Die Füllmenge einer Maschine ist normalverteilt mit \( \mu = 500\,\text{ml} \) und \( \sigma = 5\,\text{ml} \). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche zwischen 490 ml und 510 ml Inhalt hat?

Lösung:

\( z_1 = \frac{490 - 500}{5} = -2 \), \quad \( z_2 = \frac{510 - 500}{5} = 2 \)

\( P(490 \leq X \leq 510) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544 \)