Typ-1-Aufgaben: Funktionale Abhängigkeiten

Der Graph einer Funktion \( f \) verläuft durch die Punkte \( (0|2) \) und \( (3|2) \). Ist \( f \) dadurch eindeutig bestimmt?

Lösung: Nein, durch zwei Punkte ist nur eine lineare Funktion eindeutig bestimmt. Es gibt unendlich viele Funktionen (z.B. quadratische), die durch diese beiden Punkte verlaufen.

Eine lineare Funktion hat die Steigung \( k = -\frac{3}{2} \) und verläuft durch den Punkt \( P(2|1) \). Bestimme die Funktionsgleichung.

Lösung:

\( f(x) = -\frac{3}{2}x + d \). Einsetzen von \( P(2|1) \): \( 1 = -\frac{3}{2} \cdot 2 + d = -3 + d \Rightarrow d = 4 \)

Also: \( f(x) = -\frac{3}{2}x + 4 \)

Bestimme die Definitionslücke(n) der rationalen Funktion \( f(x) = \frac{x+2}{x^2 - 4} \).

Lösung: Nenner gleich null setzen: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Definitionslücken bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \). Bei \( x = -2 \) liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da auch der Zähler null wird.

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 4 Stunden. Zu Beginn sind 1000 Bakterien vorhanden. Stelle die Wachstumsfunktion auf.

Lösung:

\( N(t) = 1000 \cdot 2^{\frac{t}{4}} = 1000 \cdot e^{\frac{\ln 2}{4} \cdot t} \approx 1000 \cdot e^{0{,}173t} \)

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion \( f(x) = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) + 1 \).

Lösung: Amplitude: \( |a| = 4 \). Periode: \( T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6 \).

Bestimme die Umkehrfunktion von \( f(x) = e^{2x} + 1 \) mit \( x \in \mathbb{R} \).

Lösung:

\( y = e^{2x} + 1 \Rightarrow y - 1 = e^{2x} \Rightarrow \ln(y-1) = 2x \Rightarrow x = \frac{\ln(y-1)}{2} \)

Also: \( f^{-1}(x) = \frac{\ln(x-1)}{2} \) mit \( x > 1 \)