Grundkompetenzen FA (Funktionale Abhängigkeiten)

FA 1: Funktionsbegriff

Der Funktionsbegriff bildet die Grundlage für alle weiteren Kompetenzbereiche.

Wichtige Kompetenzen FA 1:

Den Begriff der Funktion als eindeutige Zuordnung kennen
Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) und Wertebereich \( \mathbb{W} \) bestimmen
Darstellungsformen: Funktionsgleichung, Graph, Tabelle, verbale Beschreibung
Eigenschaften erkennen: Monotonie, Beschränktheit, Symmetrie, Periodizität
Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen aus dem Graphen ablesen

Funktionsbegriff

Eine Funktion \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{W} \) ordnet jedem \( x \in \mathbb{D} \) genau ein \( y = f(x) \in \mathbb{W} \) zu.

FA 2: Lineare Funktion

Die lineare Funktion ist der einfachste Funktionstyp und beschreibt einen proportionalen Zusammenhang.

Lineare Funktion

\( f(x) = k \cdot x + d \)

\( k \) = Steigung (Änderungsrate), \( d \) = y-Achsenabschnitt

Wichtige Kompetenzen FA 2:

Steigung \( k \) aus zwei Punkten berechnen: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Geradengleichung aufstellen
Steigung als Änderungsrate interpretieren
Parallele Geraden (\( k_1 = k_2 \)) und normale Geraden (\( k_1 \cdot k_2 = -1 \))

FA 3: Potenz-, Polynom- und rationale Funktionen

Dieser Bereich umfasst Potenzfunktionen, Polynomfunktionen und rationale Funktionen.

Wichtige Funktionstypen

Potenzfunktion: \( f(x) = a \cdot x^n \)

Polynomfunktion: \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 \)

Rationale Funktion: \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \) mit Polynomen \( p \) und \( q \)

Wichtige Kompetenzen FA 3:

Graphen von Potenzfunktionen erkennen und zuordnen
Nullstellen von Polynomfunktionen bestimmen
Definitionslücken und Asymptoten rationaler Funktionen bestimmen
Verschiebung und Streckung von Graphen

FA 4: Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse. Die Logarithmusfunktion ist ihre Umkehrfunktion.

Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponentialfunktion: \( f(x) = a \cdot b^x \) bzw. \( f(x) = a \cdot e^{\lambda x} \)

Logarithmusfunktion: \( f(x) = \log_b(x) \)

Zusammenhang: \( y = b^x \Leftrightarrow x = \log_b(y) \)

Wichtige Kompetenzen FA 4:

Exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall erkennen
Verdopplungszeit und Halbwertszeit berechnen: \( t_H = \frac{\ln 2}{|\lambda|} \)
Zusammenhang zwischen \( b^x \) und \( e^{\lambda x} \): \( b^x = e^{x \cdot \ln b} \)
Graphen von Exponential- und Logarithmusfunktionen kennen

FA 5: Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus beschreiben periodische Vorgänge.

Allgemeine Sinusfunktion

\( f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d \)

\( a \) = Amplitude, \( T = \frac{2\pi}{b} \) = Periode, \( c \) = Phasenverschiebung, \( d \) = vertikale Verschiebung

Wichtige Kompetenzen FA 5:

Zusammenhang zwischen Grad- und Bogenmaß: \( 180° = \pi \)
Amplitude, Periode und Phasenverschiebung aus dem Graphen ablesen
Sinusfunktion aus gegebenen Parametern aufstellen
Wichtige Werte: \( \sin(0) = 0 \), \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \), \( \cos(0) = 1 \)

FA 6: Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung einer Funktion um.

Umkehrfunktion

Wenn \( f \) bijektiv (umkehrbar) ist, gilt: \( f^{-1}(f(x)) = x \)

Der Graph von \( f^{-1} \) entsteht durch Spiegelung von \( f \) an der Geraden \( y = x \).

Wichtige Kompetenzen FA 6:

Bedingung für Umkehrbarkeit: streng monoton (injektiv)
Umkehrfunktion bestimmen: \( y = f(x) \) nach \( x \) auflösen, dann \( x \) und \( y \) vertauschen
Definitions- und Wertebereich werden vertauscht
Beispiel: \( f(x) = e^x \Rightarrow f^{-1}(x) = \ln(x) \)

Zusammenfassung

Grundkompetenzen FA auf einen Blick

FA 1: Funktionsbegriff, Darstellungsformen, Eigenschaften

FA 2: Lineare Funktion \( f(x) = kx + d \)

FA 3: Potenz-, Polynom- und rationale Funktionen

FA 4: Exponential- und Logarithmusfunktionen

FA 5: Trigonometrische Funktionen

FA 6: Umkehrfunktion