Algebra
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
\( a^0 = 1 \), \quad \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)
\( \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \)
\( \log_b\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \)
\( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b x \)
Basiswechsel: \( \log_b x = \frac{\ln x}{\ln b} \)
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
Lösungsformel: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Diskriminante: \( D = b^2 - 4ac \)
Satz von Vieta: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \), \quad \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Geometrie & Vektoren
Betrag: \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)
Skalarprodukt: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \)
Winkel: \( \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)
Normalvektor in \( \mathbb{R}^2 \): \( \vec{n} = \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix} \) zu \( \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \)
\( \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \), \quad \( \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \), \quad \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
Sinussatz: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \)
Kosinussatz: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \)
Dreieck: \( A = \frac{a \cdot h_a}{2} \)
Parallelogramm: \( A = a \cdot h_a \)
Trapez: \( A = \frac{(a + c) \cdot h}{2} \)
Kreis: \( A = \pi r^2 \), \quad Umfang: \( U = 2\pi r \)
Quader: \( V = a \cdot b \cdot c \)
Zylinder: \( V = \pi r^2 \cdot h \)
Kegel: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h \)
Pyramide: \( V = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{Grund}} \cdot h \)
Kugel: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), \quad Oberfläche: \( O = 4\pi r^2 \)
Funktionen
| Funktionstyp | Gleichung | Eigenschaften |
|---|---|---|
| Linear | \( f(x) = kx + d \) | Steigung \( k \), y-Achsenabschnitt \( d \) |
| Quadratisch | \( f(x) = ax^2 + bx + c \) | Scheitelpunkt \( S\!\left(-\frac{b}{2a}, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \) |
| Exponentiell | \( f(x) = a \cdot b^x \) | Wachstum \( b > 1 \), Abnahme \( 0 < b < 1 \) |
| Logarithmisch | \( f(x) = \log_b(x) \) | Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
| Trigonometrisch | \( f(x) = a \cdot \sin(b(x - c)) + d \) | Amplitude \( |a| \), Periode \( \frac{2\pi}{|b|} \) |
Lineares Wachstum: \( f(t) = f_0 + k \cdot t \)
Exponentielles Wachstum: \( f(t) = f_0 \cdot a^t = f_0 \cdot e^{\lambda t} \)
Verdopplungszeit: \( t_d = \frac{\ln 2}{\lambda} \), \quad Halbwertszeit: \( t_h = \frac{\ln 2}{|\lambda|} \)
Begrenztes Wachstum: \( f(t) = S - (S - f_0) \cdot e^{-\lambda t} \)
Logistisches Wachstum: \( f(t) = \frac{S}{1 + \left(\frac{S}{f_0} - 1\right) \cdot e^{-\lambda t}} \)
Analysis
Potenzregel: \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
Konstantenregel: \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)
Summenregel: \( (f + g)' = f' + g' \)
Produktregel: \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
Kettenregel: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( (e^x)' = e^x \), \quad \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
\( (\sin x)' = \cos x \), \quad \( (\cos x)' = -\sin x \)
\( (e^{kx})' = k \cdot e^{kx} \), \quad \( (\ln(kx))' = \frac{1}{x} \)
Extremstellen: \( f'(x_0) = 0 \) und Vorzeichenwechsel von \( f' \) (oder \( f''(x_0) \neq 0 \))
Maximum: \( f''(x_0) < 0 \), \quad Minimum: \( f''(x_0) > 0 \)
Wendepunkte: \( f''(x_0) = 0 \) und \( f'''(x_0) \neq 0 \)
Stammfunktion: \( \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \)
\( \int e^x\,dx = e^x + C \), \quad \( \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \)
Bestimmtes Integral: \( \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \)
Fläche zwischen Kurven: \( A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx \)
Stochastik
Arithmetisches Mittel: \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \)
Varianz: \( s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \)
Standardabweichung: \( s = \sqrt{s^2} \)
Spannweite: \( R = x_{\max} - x_{\min} \)
Laplace: \( P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} \)
Additionsregel: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Multiplikationsregel: \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: \( P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
Gegenwahrscheinlichkeit: \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
\( P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
\( E(X) = n \cdot p \), \quad \( \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \)
Standardisierung: \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)
\( P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\,\% \)
\( P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\,\% \)
\( P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\,\% \)
\( \left[ \hat{p} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \;;\; \hat{p} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right] \)
Häufig: \( z_{0{,}975} = 1{,}96 \) für 95-%-Konfidenzintervall