Typ-1-Aufgaben Algebra & Geometrie - Erklärung & Beispiele

Aufgabenformat bei der Matura

Typ-1-Aufgaben haben ein standardisiertes Format:

Jede Aufgabe prüft eine Grundkompetenz ab
Es gibt verschiedene Antwortformate: Multiple Choice, Lückentext, Zuordnung oder offenes Antwortformat
Keine technologischen Hilfsmittel (kein Taschenrechner, keine Formelsammlung)
Bearbeitungszeit: ca. 3--5 Minuten pro Aufgabe

Musteraufgabe AG 1.1

Vereinfache den Ausdruck \( \frac{x^3 \cdot x^{-5}}{x^{-4}} \) für \( x \neq 0 \).

Lösung:

\( \frac{x^3 \cdot x^{-5}}{x^{-4}} = \frac{x^{3+(-5)}}{x^{-4}} = \frac{x^{-2}}{x^{-4}} = x^{-2-(-4)} = x^{2} \)

Musteraufgabe AG 1.2

Schreibe \( \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt{a} \) als Potenz mit rationalem Exponenten.

Lösung:

\( a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = a^{\frac{7}{6}} \)

Musteraufgabe AG 2.1

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung \( e^{2x} = 5 \).

Lösung:

\( 2x = \ln 5 \Rightarrow x = \frac{\ln 5}{2} \approx 0{,}805 \)

Musteraufgabe AG 2.2

Für welche Werte von \( k \) hat die Gleichung \( x^2 + 4x + k = 0 \) genau eine reelle Lösung?

Lösung: Diskriminante \( D = b^2 - 4ac = 16 - 4k = 0 \Rightarrow k = 4 \)

Musteraufgabe AG 3

Gegeben sind die Punkte \( A(1|0|3) \) und \( B(4|2|1) \). Bestimme den Vektor \( \overrightarrow{AB} \) und seinen Betrag.

Lösung:

\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 2-0 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \)

\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \)

Musteraufgabe AG 4

Ein Kegel hat den Radius \( r = 3\,\text{cm} \) und die Höhe \( h = 4\,\text{cm} \). Berechne das Volumen.

Lösung:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}70\,\text{cm}^3 \)