AG 1: Zahlen und Rechengesetze
In diesem Bereich musst du sicher mit den verschiedenen Zahlenbereichen umgehen und die grundlegenden Rechengesetze anwenden können.
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)
Natürliche \(\subset\) Ganze \(\subset\) Rationale \(\subset\) Reelle Zahlen
Wichtige Kompetenzen AG 1:
- Zahlenbereiche kennen und Zahlen zuordnen
- Potenzgesetze anwenden: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- Wurzeln als Potenzen schreiben: \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)
- Logarithmengesetze: \( \log(a \cdot b) = \log a + \log b \), \( \log\frac{a}{b} = \log a - \log b \), \( \log a^n = n \cdot \log a \)
- Betrag: \( |a| = \begin{cases} a & \text{wenn } a \geq 0 \\ -a & \text{wenn } a < 0 \end{cases} \)
- Prozentrechnung und Promillerechnung
AG 2: Gleichungen und Gleichungssysteme
Hier geht es um das Lösen verschiedener Gleichungstypen und linearer Gleichungssysteme.
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Wichtige Kompetenzen AG 2:
- Lineare Gleichungen lösen
- Quadratische Gleichungen lösen (Lösungsformel, Satz von Vieta)
- Exponentialgleichungen lösen: \( a^x = b \Rightarrow x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \)
- Logarithmusgleichungen lösen
- Lineare Gleichungssysteme (2 und 3 Variable) lösen
- Ungleichungen lösen und Lösungsmengen angeben
AG 3: Vektoren
Die Vektorrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der analytischen Geometrie und wird bei der Matura regelmäßig geprüft.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi \)
Wichtige Kompetenzen AG 3:
- Vektoren addieren, subtrahieren und mit Skalaren multiplizieren
- Betrag (Länge) eines Vektors: \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)
- Skalarprodukt berechnen und Winkel bestimmen
- Normalvektor bestimmen
- Geraden- und Ebenengleichungen aufstellen (Parameter- und Normalvektorform)
- Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen untersuchen
Parameterform einer Geraden durch \( A(1|2|3) \) mit Richtungsvektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \):
\( \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} \)
AG 4: Geometrie
Der Bereich Geometrie umfasst Trigonometrie, Flächen- und Volumenberechnungen sowie Ähnlichkeit.
Sinussatz: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \)
Kosinussatz: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \)
Wichtige Kompetenzen AG 4:
- Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck anwenden
- Sinussatz und Kosinussatz anwenden
- Flächen berechnen (Dreieck, Parallelogramm, Kreis, zusammengesetzte Figuren)
- Volumina berechnen (Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)
- Ähnlichkeit und Kongruenz
Zusammenfassung
AG 1: Zahlenbereiche, Potenzgesetze, Logarithmen, Betrag, Prozent
AG 2: Lineare, quadratische, Exponential- & Logarithmusgleichungen, LGS
AG 3: Vektoren, Skalarprodukt, Geraden, Ebenen
AG 4: Trigonometrie, Flächen, Volumina, Ähnlichkeit
Übungen
Vereinfache: \( \frac{a^5 \cdot a^{-2}}{a^2} \)
Löse die Gleichung \( 2x^2 - 8 = 0 \).
Berechne das Skalarprodukt von \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \).
Löse die Exponentialgleichung \( 3^x = 81 \).
In einem Dreieck gilt \( a = 5 \), \( b = 7 \) und \( \gamma = 60° \). Berechne die Seite \( c \) mit dem Kosinussatz.