Vektorrechnung - Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation

Vektoren addieren

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert. Das bedeutet: Erste Komponente plus erste Komponente, zweite Komponente plus zweite Komponente.

Vektoraddition

\(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}\)

Beispiel: Vektoren addieren

Berechne \(\vec{a} + \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Komponentenweise addieren: \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\)

Erste Komponente: \(3 + 2 = 5\)

Zweite Komponente: \(-1 + 5 = 4\)

Ergebnis: \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Geometrische Deutung

Die Addition von Vektoren kann geometrisch auf zwei Arten veranschaulicht werden:

Dreiecksregel (Spitze-Schaft-Methode)

Man trägt den zweiten Vektor \(\vec{b}\) an der Spitze des ersten Vektors \(\vec{a}\) an. Der Summenvektor \(\vec{a} + \vec{b}\) geht vom Anfangspunkt von \(\vec{a}\) zum Endpunkt von \(\vec{b}\).

So verkettet man Verschiebungen: Erst wird um \(\vec{a}\) verschoben, dann um \(\vec{b}\).

Parallelogrammregel

Man trägt beide Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) am selben Punkt an. Die Diagonale des entstehenden Parallelogramms ist der Summenvektor \(\vec{a} + \vec{b}\).

Diese Methode zeigt gut, dass die Addition kommutativ ist: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\).

Vektoren subtrahieren

Die Subtraktion ist die Addition des Gegenvektors:

Vektorsubtraktion

\(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{pmatrix}\)

Beispiel: Vektoren subtrahieren

Berechne \(\vec{a} - \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}\).

\(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\)

Rechengesetze der Addition

Für die Vektoraddition gelten folgende Gesetze:

Rechengesetze der Vektoraddition

Kommutativgesetz: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)

Assoziativgesetz: \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)

Neutrales Element: \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\)

Inverses Element: \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\)

Tipp: Geometrisch bedeutet die Subtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\): Wenn man beide Vektoren am selben Punkt anträgt, zeigt der Differenzvektor von der Spitze von \(\vec{b}\) zur Spitze von \(\vec{a}\).

Definition der skalaren Multiplikation

Bei der skalaren Multiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar (einer reellen Zahl) multipliziert:

Skalare Multiplikation

\(k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \end{pmatrix}\)

wobei \(k \in \mathbb{R}\) ein Skalar ist

Beispiel: Skalare Multiplikation

Berechne \(3 \cdot \vec{a}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \end{pmatrix}\)

Der Vektor wurde um den Faktor 3 gestreckt - er zeigt in dieselbe Richtung, ist aber dreimal so lang.

Wirkung auf Länge und Richtung

Der Skalar \(k\) beeinflusst den Vektor auf folgende Weise:

Einfluss des Skalars

\(k > 1\): Der Vektor wird gestreckt (verlängert), Richtung bleibt gleich
\(0 < k < 1\): Der Vektor wird gestaucht (verkürzt), Richtung bleibt gleich
\(k = 1\): Der Vektor bleibt unverändert
\(k = 0\): Es entsteht der Nullvektor \(\vec{0}\)
\(k = -1\): Der Vektor wird umgekehrt (Gegenvektor)
\(k < 0\): Der Vektor wird umgekehrt und entsprechend skaliert

Beispiel: Negativer Skalar

Berechne \(-2 \cdot \vec{v}\) mit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(-2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Der Vektor zeigt jetzt in die entgegengesetzte Richtung und ist doppelt so lang.

Parallele Vektoren und Kollinearität

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel (kollinear), wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist:

Kollinearitätsbedingung

\(\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \exists\, k \in \mathbb{R}: \vec{b} = k \cdot \vec{a}\)

Äquivalent dazu: \(a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1\) (Kreuzprodukt gleich null)

Beispiel: Sind die Vektoren parallel?

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\)

Prüfe: \(a_1 \cdot b_2 = 2 \cdot 9 = 18\)

Prüfe: \(a_2 \cdot b_1 = 3 \cdot 6 = 18\)

\(18 = 18\) ✓ - Die Vektoren sind parallel! Es gilt: \(\vec{b} = 3 \cdot \vec{a}\)

Rechengesetze der skalaren Multiplikation

Assoziativgesetz: \(r \cdot (s \cdot \vec{a}) = (r \cdot s) \cdot \vec{a}\)

Distributivgesetz 1: \(k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b}\)

Distributivgesetz 2: \((r + s) \cdot \vec{a} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{a}\)

Tipp: Für den Betrag des skalar multiplizierten Vektors gilt: \(|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\). Der Betrag des Skalars bestimmt die Streckung.