Definition und Formel

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ergibt einen neuen Vektor \(\vec{a} \times \vec{b}\):

Kreuzprodukt (Determinantenformel)
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}\)

Merkhilfe (Sarrus-Schema): Man kann sich die Formel über die Regel von Sarrus merken. Schreibe die beiden Vektoren als Spalten einer 3×2-Matrix und berechne die Kreuzprodukte der Zeilen: Zeile 2 × Zeile 3, Zeile 3 × Zeile 1, Zeile 1 × Zeile 2.

Beispiel: Kreuzprodukt berechnen

Berechne \(\vec{a} \times \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\).

1
1. Komponente: \(a_2 b_3 - a_3 b_2 = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3\)
2
2. Komponente: \(a_3 b_1 - a_1 b_3 = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6\)
3
3. Komponente: \(a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3\)
4
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Eigenschaften des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt hat besondere Eigenschaften, die es vom Skalarprodukt unterscheiden:

Wichtige Eigenschaften

  • Orthogonalität: \(\vec{a} \times \vec{b}\) steht senkrecht auf \(\vec{a}\) und senkrecht auf \(\vec{b}\)
  • Antikommutativität: \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)
  • Nullvektor bei parallelen Vektoren: \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\) genau dann, wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) parallel sind
  • Kreuzprodukt mit sich selbst: \(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\)
Beispiel: Orthogonalität überprüfen

Prüfe, ob \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\) senkrecht auf \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) steht.

1
\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = (-3) \cdot 1 + 6 \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = -3 + 12 - 9 = 0\) ✓

Das Skalarprodukt ist null, also stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Betrag des Kreuzprodukts

Der Betrag des Kreuzprodukts hat eine geometrische Bedeutung:

Betrag des Kreuzprodukts
\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\alpha)\)

\(\alpha\) ist der Winkel zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Der Betrag entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannt wird.

Rechte-Hand-Regel

Die Richtung des Kreuzprodukts wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt:

  1. Zeige mit dem Daumen der rechten Hand in Richtung von \(\vec{a}\)
  2. Zeige mit dem Zeigefinger in Richtung von \(\vec{b}\)
  3. Der Mittelfinger zeigt in Richtung von \(\vec{a} \times \vec{b}\)

Achtung: Reihenfolge ist wichtig!

Da das Kreuzprodukt antikommutativ ist, gilt \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\). Wenn man die Reihenfolge vertauscht, zeigt das Ergebnis in die entgegengesetzte Richtung!

Rechenregeln

Rechenregeln für das Kreuzprodukt

Antikommutativität: \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)

Distributivität: \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)

Skalarer Faktor: \((k \cdot \vec{a}) \times \vec{b} = k \cdot (\vec{a} \times \vec{b})\)

Standardvektoren: \(\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3\), \(\vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec{e}_1\), \(\vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec{e}_2\)

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 2 Mittel

Berechne \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 3 Mittel

Was gilt für \(\vec{a} \times \vec{b}\), wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) parallel sind?

Aufgabe 4 Schwer

Berechne \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 5 Schwer

Welchen Betrag hat \(\vec{a} \times \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)?

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