Flächenberechnung mit dem Kreuzprodukt

Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren entspricht dem Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Für ein Dreieck nimmt man die Hälfte.

Flächenformeln
\(A_{\text{Parallelogramm}} = |\vec{a} \times \vec{b}|\)

\(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}|\)

Beispiel: Dreiecksfläche

Berechne die Fläche des Dreiecks \(ABC\) mit \(A(1|0|0)\), \(B(0|3|0)\), \(C(0|0|2)\).

1
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \\ (-1) \cdot 0 - 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
3
\(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36 + 4 + 9} = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3{,}5\) FE

Volumenberechnung mit dem Spatprodukt

Das Spatprodukt (auch Skalar-Tripel-Produkt) dreier Vektoren berechnet das Volumen des von ihnen aufgespannten Parallelotops (Spats):

Spatprodukt
\(V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \left|\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\right|\)

Für einen Tetraeder: \(V_{\text{Tetraeder}} = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\)

Berechnung

Das Spatprodukt berechnet man in zwei Schritten: Zuerst das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\), dann das Skalarprodukt des Ergebnisses mit \(\vec{c}\). Der Betrag dieses Skalars ergibt das Volumen.

Beispiel: Volumen berechnen

Berechne das Volumen des Spats, der von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) aufgespannt wird.

1
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)
2
\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 6\)
3
\(V = |6| = 6\) VE

Kollinearität

Drei Punkte \(A\), \(B\), \(C\) sind kollinear (liegen auf einer Geraden), wenn die Verbindungsvektoren linear abhängig sind:

Kollinearitätsprüfung
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}\)

Ist das Kreuzprodukt der Nullvektor, so sind die Punkte kollinear.

Tipp: Alternativ prüft man, ob \(\vec{AB} = t \cdot \vec{AC}\) für ein \(t \in \mathbb{R}\) gilt, d. h. ob alle Komponentenverhältnisse gleich sind.

Komplanarität

Vier Punkte \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sind komplanar (liegen in einer Ebene), wenn das Spatprodukt der Verbindungsvektoren null ist:

Komplanarität
\((\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = 0\)

Ist das Spatprodukt null, liegen alle vier Punkte in einer Ebene.

Beispiel: Komplanarität prüfen

Sind \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\) und \(D(1|1|1)\) komplanar?

1
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
3
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 1 = 2 \neq 0\)
4
Die Punkte sind nicht komplanar.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) aufgespannt wird.

Aufgabe 2 Mittel

Berechne das Volumen des Spats, der von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) aufgespannt wird.

Aufgabe 3 Mittel

Sind die Punkte \(A(1|2|3)\), \(B(2|4|6)\) und \(C(3|6|9)\) kollinear?

Aufgabe 4 Schwer

Berechne das Volumen des Tetraeders mit \(A(0|0|0)\), \(B(1|0|0)\), \(C(0|2|0)\) und \(D(0|0|3)\).

Aufgabe 5 Schwer

Vier Punkte \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\), \(D(1|1|0)\). Sind sie komplanar?

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