Was ist ein Zahlentupel?
Ein Vektor im \(\mathbb{R}^2\) besteht aus zwei reellen Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. Man nennt dies ein geordnetes Paar oder 2-Tupel.
Es gibt verschiedene Schreibweisen für Vektoren:
Spaltenvektor-Notation (Standard in Österreich)
Die Zahlen \(a_1\) und \(a_2\) heißen Komponenten des Vektors. Die erste Komponente \(a_1\) beschreibt die horizontale Richtung (\(x\)-Richtung), die zweite Komponente \(a_2\) die vertikale Richtung (\(y\)-Richtung).
Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) hat die Komponenten:
Ortsvektor und Verschiebungsvektor
Es gibt zwei wichtige Arten, Vektoren zu verwenden:
Ortsvektor (Positionsvektor)
Der Ortsvektor \(\vec{OP}\) eines Punktes \(P(p_1 | p_2)\) zeigt vom Ursprung \(O(0|0)\) zum Punkt \(P\):
\(\vec{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\)
Der Ortsvektor hat dieselben Komponenten wie die Koordinaten des Punktes.
Verschiebungsvektor (Verbindungsvektor)
Der Verschiebungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) von Punkt \(A\) nach Punkt \(B\) beschreibt die Verschiebung:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}\)
Man berechnet ihn als „Spitze minus Schaft" (Endpunkt minus Anfangspunkt).
Gegeben: \(A(1|3)\) und \(B(4|7)\). Berechne \(\overrightarrow{AB}\).
Nullvektor und Gegenvektor
Zwei besonders wichtige Vektoren solltest du kennen:
Der Nullvektor hat keine Richtung und die Länge 0. Er ist das neutrale Element der Vektoraddition.
Der Gegenvektor hat dieselbe Länge, aber die entgegengesetzte Richtung. Es gilt: \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\)
Gegeben: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Bestimme den Gegenvektor.
Probe: \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}\) ✓
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen:
Tipp: Gleiche Vektoren haben dieselbe Länge und dieselbe Richtung, können aber an verschiedenen Stellen in der Ebene angetragen werden. Man spricht dann von freien Vektoren.
Übungen
Welche Komponenten hat der Verschiebungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) mit \(A(2|1)\) und \(B(5|4)\)?
Was ist der Gegenvektor von \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}\)?
Der Punkt \(P(3|5)\) wird um den Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) verschoben. Welche Koordinaten hat der Bildpunkt \(P'\)?
Für welchen Wert von \(x\) gilt \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) mit \(A(1|x)\) und \(B(3|8)\)?