Vektoren als Pfeile

Geometrisch wird ein Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\) als Pfeil (gerichtete Strecke) in der Ebene dargestellt. Jeder Pfeil hat:

  • Anfangspunkt (Schaft): Wo der Pfeil beginnt
  • Endpunkt (Spitze): Wo der Pfeil endet
  • Richtung: Die Orientierung des Pfeils
  • Länge (Betrag): Die Länge des Pfeils

So zeichnest du einen Vektor

Um den Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) vom Punkt \(P(1|1)\) aus zu zeichnen:

  1. Starte beim Punkt \(P(1|1)\)
  2. Gehe 3 Einheiten nach rechts (erste Komponente)
  3. Gehe 2 Einheiten nach oben (zweite Komponente)
  4. Zeichne einen Pfeil von \(P\) zum Endpunkt \(Q(4|3)\)

Freie und gebundene Vektoren

Man unterscheidet zwei Arten von Vektoren:

Freier Vektor

Ein freier Vektor ist nicht an einen bestimmten Anfangspunkt gebunden. Alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung repräsentieren denselben freien Vektor.

In der Vektorrechnung arbeiten wir meist mit freien Vektoren.

Gebundener Vektor (Ortsvektor)

Ein gebundener Vektor hat einen festen Anfangspunkt. Der Ortsvektor eines Punktes \(P\) beginnt immer im Ursprung \(O(0|0)\) und zeigt zum Punkt \(P\).

Beispiel: Freie Vektoren

Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) kann an verschiedenen Stellen angetragen werden:

1
Von \(O(0|0)\) nach \((2|3)\) — das ist der Ortsvektor
2
Von \((1|1)\) nach \((3|4)\) — gleicher Vektor, anderer Anfangspunkt
3
Von \((-1|2)\) nach \((1|5)\) — wieder der gleiche Vektor

Alle drei Pfeile haben dieselbe Richtung und Länge — sie repräsentieren denselben freien Vektor.

Richtung und Betrag

Jeder Vektor (außer dem Nullvektor) hat zwei zentrale Eigenschaften:

Betrag (Länge) eines Vektors
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)

Der Betrag ist immer eine nicht-negative Zahl.

Richtung eines Vektors

Die Richtung eines Vektors kann durch den Winkel \(\alpha\) zur positiven \(x\)-Achse angegeben werden:

\(\tan(\alpha) = \frac{a_2}{a_1}\) (für \(a_1 \neq 0\))

Vektoren mit gleicher Richtung sind parallel (und Vielfache voneinander).

Zusammenhang Punkt und Vektor

Punkte und Vektoren hängen eng zusammen, sind aber verschiedene Objekte:

Punkt Vektor
Beschreibt eine Position Beschreibt eine Verschiebung
Notation: \(P(3|4)\) Notation: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Fester Ort in der Ebene Kann überall angetragen werden

Tipp: Vom Punkt \(P(p_1|p_2)\) kommt man zum Ortsvektor \(\vec{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\). Der Ortsvektor hat die gleichen Zahlenwerte wie die Koordinaten des Punktes.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Ein Pfeil geht vom Punkt \(A(1|2)\) zum Punkt \(B(4|6)\). Welcher Vektor wird dargestellt?

Aufgabe 2 Leicht

Welche Aussage über freie Vektoren ist richtig?

Aufgabe 3 Mittel

Der Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) wird am Punkt \(P(5|1)\) angetragen. Welcher Endpunkt ergibt sich?

Aufgabe 4 Schwer

Welcher der folgenden Pfeile repräsentiert denselben Vektor wie der Pfeil von \(A(0|0)\) nach \(B(2|3)\)?

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