Addition & Subtraktion von Vektoren

Vektoren addieren

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert. Das bedeutet: Erste Komponente plus erste Komponente, zweite Komponente plus zweite Komponente.

Vektoraddition

\(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}\)

Beispiel: Vektoren addieren

Berechne \(\vec{a} + \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Komponentenweise addieren: \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\)

Erste Komponente: \(3 + 2 = 5\)

Zweite Komponente: \(-1 + 5 = 4\)

Ergebnis: \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Geometrische Deutung

Die Addition von Vektoren kann geometrisch auf zwei Arten veranschaulicht werden:

Dreiecksregel (Spitze-Schaft-Methode)

Man trägt den zweiten Vektor \(\vec{b}\) an der Spitze des ersten Vektors \(\vec{a}\) an. Der Summenvektor \(\vec{a} + \vec{b}\) geht vom Anfangspunkt von \(\vec{a}\) zum Endpunkt von \(\vec{b}\).

So verkettet man Verschiebungen: Erst wird um \(\vec{a}\) verschoben, dann um \(\vec{b}\).

Parallelogrammregel

Man trägt beide Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) am selben Punkt an. Die Diagonale des entstehenden Parallelogramms ist der Summenvektor \(\vec{a} + \vec{b}\).

Diese Methode zeigt gut, dass die Addition kommutativ ist: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\).

Vektoren subtrahieren

Die Subtraktion ist die Addition des Gegenvektors:

Vektorsubtraktion

\(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{pmatrix}\)

Beispiel: Vektoren subtrahieren

Berechne \(\vec{a} - \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}\).

\(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\)

Rechengesetze

Für die Vektoraddition gelten folgende Gesetze:

Rechengesetze der Vektoraddition

Kommutativgesetz: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)

Assoziativgesetz: \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)

Neutrales Element: \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\)

Inverses Element: \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\)

Tipp: Geometrisch bedeutet die Subtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\): Wenn man beide Vektoren am selben Punkt anträgt, zeigt der Differenzvektor von der Spitze von \(\vec{b}\) zur Spitze von \(\vec{a}\).