Definition des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist eine reelle Zahl (kein Vektor!):

Skalarprodukt (rechnerisch)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)

Man multipliziert die jeweiligen Komponenten und addiert die Ergebnisse.

Beispiel: Skalarprodukt berechnen

Berechne \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)\)
2
\(= 6 + (-4) = 2\)

Das Skalarprodukt ist die Zahl 2.

Geometrische Bedeutung

Das Skalarprodukt hat eine wichtige geometrische Interpretation:

Skalarprodukt (geometrisch)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\)

wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist

Was verrät das Vorzeichen?

  • \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\): Der Winkel zwischen den Vektoren ist spitz (\(\alpha < 90°\))
  • \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\): Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (\(\alpha = 90°\))
  • \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\): Der Winkel zwischen den Vektoren ist stumpf (\(\alpha > 90°\))

Orthogonalität (Rechtwinkligkeit)

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:

Orthogonalitätsbedingung
\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
Beispiel: Orthogonalität prüfen

Sind \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) orthogonal?

1
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0\)

Da \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. ✓

Winkel zwischen Vektoren

Aus der geometrischen Formel kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:

Winkel zwischen Vektoren
\(\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\)
Beispiel: Winkel berechnen

Berechne den Winkel zwischen \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
Skalarprodukt: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1\)
2
Beträge: \(|\vec{a}| = 1\), \(|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
3
\(\cos(\alpha) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
4
\(\alpha = \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45°\)

Eigenschaften des Skalarprodukts

Rechenregeln

Kommutativität: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)

Distributivität: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)

Skalare Faktor: \((k \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = k \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})\)

Quadrat: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)

Tipp: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seines Betrags: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = a_1^2 + a_2^2 = |\vec{a}|^2\). Das ist nützlich zur Berechnung der Vektorlänge!

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne das Skalarprodukt \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 2 Leicht

Welche Vektoren stehen senkrecht aufeinander?

Aufgabe 3 Mittel

Welcher Winkel liegt zwischen den Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 4 Schwer

Berechne \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) für \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Was sagt das Ergebnis über \(|\vec{a}|\) aus?

Aufgabe 5 Schwer

Für welchen Wert von \(t\) stehen \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ t \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) senkrecht aufeinander?

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