Skalare Multiplikation - Erklärung & Beispiele

Definition der skalaren Multiplikation

Bei der skalaren Multiplikation wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar (einer reellen Zahl) multipliziert:

Skalare Multiplikation

\(k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \end{pmatrix}\)

wobei \(k \in \mathbb{R}\) ein Skalar ist

Beispiel: Skalare Multiplikation

Berechne \(3 \cdot \vec{a}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \end{pmatrix}\)

Der Vektor wurde um den Faktor 3 gestreckt — er zeigt in dieselbe Richtung, ist aber dreimal so lang.

Wirkung auf Länge und Richtung

Einfluss des Skalars

\(k > 1\): Der Vektor wird gestreckt (verlängert), Richtung bleibt gleich
\(0 < k < 1\): Der Vektor wird gestaucht (verkürzt), Richtung bleibt gleich
\(k = 1\): Der Vektor bleibt unverändert
\(k = 0\): Es entsteht der Nullvektor \(\vec{0}\)
\(k = -1\): Der Vektor wird umgekehrt (Gegenvektor)
\(k < 0\): Der Vektor wird umgekehrt und entsprechend skaliert

Beispiel: Negativer Skalar

Berechne \(-2 \cdot \vec{v}\) mit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(-2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Der Vektor zeigt jetzt in die entgegengesetzte Richtung und ist doppelt so lang.

Parallele Vektoren und Kollinearität

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel (kollinear), wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist:

Kollinearitätsbedingung

\(\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \exists\, k \in \mathbb{R}: \vec{b} = k \cdot \vec{a}\)

Äquivalent dazu: \(a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1\) (Kreuzprodukt gleich null)

Beispiel: Sind die Vektoren parallel?

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\)

Prüfe: \(a_1 \cdot b_2 = 2 \cdot 9 = 18\)

Prüfe: \(a_2 \cdot b_1 = 3 \cdot 6 = 18\)

\(18 = 18\) ✓ — Die Vektoren sind parallel! Es gilt: \(\vec{b} = 3 \cdot \vec{a}\)

Rechengesetze

Rechengesetze der skalaren Multiplikation

Assoziativgesetz: \(r \cdot (s \cdot \vec{a}) = (r \cdot s) \cdot \vec{a}\)

Distributivgesetz 1: \(k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b}\)

Distributivgesetz 2: \((r + s) \cdot \vec{a} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{a}\)

Tipp: Für den Betrag des skalar multiplizierten Vektors gilt: \(|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\). Der Betrag des Skalars bestimmt die Streckung.