Betrag berechnen

Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) ist seine Länge. Er wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

Betrag eines Vektors
\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)

Der Betrag ist immer \(\geq 0\). Er ist genau dann 0, wenn \(\vec{v} = \vec{0}\).

Beispiel: Betrag berechnen

Berechne den Betrag von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

1
Formel: \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)
2
Einsetzen: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)
3
Ergebnis: \(|\vec{a}| = 5\)

Warum Pythagoras?

Der Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) bildet mit seinen Komponenten ein rechtwinkliges Dreieck: \(v_1\) ist die horizontale Kathete, \(v_2\) die vertikale Kathete, und der Vektor selbst ist die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt daher: \(|\vec{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2\).

Abstand zwischen zwei Punkten

Der Abstand zweier Punkte \(A(a_1|a_2)\) und \(B(b_1|b_2)\) ist der Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AB}\):

Abstandsformel
\(d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}\)
Beispiel: Abstand zwischen zwei Punkten

Berechne den Abstand der Punkte \(A(1|2)\) und \(B(4|6)\).

1
\(d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}\)
2
\(= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1. Man erhält ihn, indem man einen Vektor durch seinen Betrag dividiert:

Einheitsvektor (Normierung)
\(\vec{a}_0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)

Der Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\), hat aber die Länge 1.

Beispiel: Einheitsvektor berechnen

Normiere den Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\).

1
Betrag: \(|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
2
\(\vec{a}_0 = \frac{1}{10} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \end{pmatrix}\)
3
Probe: \(|\vec{a}_0| = \sqrt{0{,}6^2 + 0{,}8^2} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1\) ✓

Wichtige Eigenschaften

Rechenregeln für den Betrag

Positivität: \(|\vec{a}| \geq 0\), und \(|\vec{a}| = 0 \iff \vec{a} = \vec{0}\)

Skalierung: \(|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\)

Dreiecksungleichung: \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\)

Tipp: Die zwei Standard-Einheitsvektoren im \(\mathbb{R}^2\) sind \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination schreiben: \(\vec{a} = a_1 \cdot \vec{e}_1 + a_2 \cdot \vec{e}_2\).

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie groß ist der Betrag des Vektors \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 2 Mittel

Wie groß ist der Abstand der Punkte \(A(2|3)\) und \(B(6|6)\)?

Aufgabe 3 Mittel

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Aufgabe 4 Schwer

Wie lautet der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 4 richtig