Die vier Lagebeziehungen

Gegeben seien zwei Geraden im \(\mathbb{R}^3\):

\(g: \vec{X} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) und \(h: \vec{X} = \vec{q} + s \cdot \vec{u}\)

Übersicht der Fälle

  • Identisch: Richtungsvektoren kollinear, ein Punkt der einen Geraden liegt auf der anderen
  • Parallel: Richtungsvektoren kollinear, aber kein gemeinsamer Punkt
  • Schneidend: Richtungsvektoren nicht kollinear, das Gleichungssystem hat eine Lösung
  • Windschief: Richtungsvektoren nicht kollinear, das Gleichungssystem hat keine Lösung

Systematische Untersuchung

So gehst du vor, um die Lagebeziehung zu bestimmen:

Schritt-für-Schritt-Verfahren

Schritt 1: Prüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind: \(\vec{r} = k \cdot \vec{u}\)?

Falls ja: Punktprobe → identisch oder parallel

Falls nein: Gleichungssystem lösen → schneidend oder windschief

Fall 1: Richtungsvektoren kollinear

Wenn \(\vec{r} = k \cdot \vec{u}\) für ein \(k \in \mathbb{R}\), sind die Geraden parallel oder identisch.

Man prüft durch Punktprobe: Liegt \(\vec{q}\) auf \(g\)?

Beispiel: Parallele Geraden

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\)

1
Kollinearität: \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) ✓ → parallel oder identisch
2
Punktprobe: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt \(t = 1\) aus Zeile 1 und 2, aber \(t = 2\) aus Zeile 3 → Widerspruch!
3
Die Geraden sind parallel (aber nicht identisch).

Fall 2: Richtungsvektoren nicht kollinear

Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, setzt man die Geraden gleich:

Gleichungssystem
\(\vec{p} + t \cdot \vec{r} = \vec{q} + s \cdot \vec{u}\)

Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten (\(t\) und \(s\))

Beispiel: Windschiefe Geraden

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

1
Gleichsetzen: \(1 + t = 3\), \(2 = 1 + s\), \(3 + t = 4 - s\)
2
Aus (1): \(t = 2\). Aus (2): \(s = 1\).
3
Probe in (3): \(3 + 2 = 4 - 1 \implies 5 = 3\)? Nein! → Widerspruch → windschief
Beispiel: Windschiefe Geraden (2)

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1
Gleichsetzen: \(1 + t = 2\), \(t = 3 + s\), \(0 = s\)
2
Aus (1): \(t = 1\). Aus (3): \(s = 0\). Probe in (2): \(1 = 3 + 0\)? Nein! → windschief

Windschiefe Geraden

Windschiefe Geraden sind ein Phänomen, das es nur im \(\mathbb{R}^3\) gibt:

  • Sie sind nicht parallel (verschiedene Richtungen)
  • Sie schneiden sich nicht (kein gemeinsamer Punkt)
  • Sie liegen in verschiedenen Ebenen

Alltagsbeispiel: Stell dir eine Straße vor, die unter einer Brücke durchführt. Die Straße und die Brücke verlaufen in verschiedene Richtungen und kreuzen sich nicht, auch wenn sie nicht parallel sind. Sie sind windschief zueinander.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welche Lagebeziehung gibt es in \(\mathbb{R}^3\), aber nicht in \(\mathbb{R}^2\)?

Aufgabe 2 Mittel

Sind \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) kollinear?

Aufgabe 3 Mittel

Welche Lagebeziehung haben \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 4 Schwer

Die Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) sind...

Aufgabe 5 Schwer

Bestimme den Schnittpunkt von \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\).

🎯 Dein Ergebnis
0 / 5 richtig