Abstand Punkt – Gerade

Der Abstand eines Punktes \(Q\) von einer Geraden \(g: \vec{X} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) kann mit dem Kreuzprodukt berechnet werden:

Abstand Punkt – Gerade
\(d(Q, g) = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{r}|}{|\vec{r}|}\)

\(P\) ist der Aufpunkt der Geraden, \(\vec{r}\) ihr Richtungsvektor

Beispiel: Abstand Punkt – Gerade

Berechne den Abstand von \(Q(3|1|1)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{PQ} \times \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)
3
\(d = \frac{|\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|} = \frac{\sqrt{1 + 0 + 4}}{1} = \sqrt{5}\)

Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden \(g\) und \(h\) ist der kürzeste Abstand zwischen ihnen. Er wird mit dem Kreuzprodukt berechnet:

Abstand windschiefer Geraden
\(d(g, h) = \frac{|(\vec{p} - \vec{q}) \cdot (\vec{r} \times \vec{u})|}{|\vec{r} \times \vec{u}|}\)

\(g: \vec{X} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) und \(h: \vec{X} = \vec{q} + s \cdot \vec{u}\)

Herleitung der Formel

Der Vektor \(\vec{r} \times \vec{u}\) steht senkrecht auf beiden Geraden. Die Projektion des Verbindungsvektors \(\vec{p} - \vec{q}\) auf diesen Normalvektor ergibt den Abstand. Das ist im Grunde das Spatprodukt dividiert durch die Fläche des Parallelogramms.

Beispiel: Abstand windschiefer Geraden

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1
\(\vec{r} \times \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{p} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
3
\((\vec{p} - \vec{q}) \cdot (\vec{r} \times \vec{u}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1\)
4
\(d = \frac{|1|}{|\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}|} = \frac{1}{1} = 1\)

Abstand paralleler Geraden

Für parallele Geraden vereinfacht sich die Berechnung. Man nimmt einfach den Abstand eines Punktes der einen Geraden von der anderen:

Abstand paralleler Geraden
\(d(g, h) = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{r}|}{|\vec{r}|}\)

\(P\) auf \(g\), \(Q\) auf \(h\), \(\vec{r}\) = gemeinsamer Richtungsvektor

Lotfußpunkt

Der Lotfußpunkt \(F\) ist der Punkt auf der Geraden, der dem gegebenen Punkt \(Q\) am nächsten liegt. Man berechnet ihn über:

Lotfußpunkt
\(t_F = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{r}}{|\vec{r}|^2}\), dann \(F = P + t_F \cdot \vec{r}\)

Der Vektor \(\vec{QF}\) steht senkrecht auf der Geraden.

Tipp: Man kann die Richtigkeit des Lotfußpunkts überprüfen, indem man prüft, ob \(\vec{QF} \cdot \vec{r} = 0\) gilt (Orthogonalitätsbedingung).

Übungen

Aufgabe 1 Mittel

Berechne den Abstand von \(Q(0|0|3)\) zur Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (x-Achse).

Aufgabe 2 Mittel

Die \(x\)-Achse und die Gerade \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind windschief. Wie groß ist ihr Abstand?

Aufgabe 3 Schwer

Berechne den Abstand der windschiefen Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Schwer

Bestimme den Lotfußpunkt von \(Q(2|3|1)\) auf der Geraden \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

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