Geraden im dreidimensionalen Raum
Eine Gerade im \(\mathbb{R}^3\) wird durch einen Stützvektor (einen Punkt auf der Geraden) und einen Richtungsvektor (die Richtung der Geraden) beschrieben:
Parameterform einer Geraden in R³
\(g: \vec{X} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\), \(t \in \mathbb{R}\)
\(\vec{p}\) = Stützvektor, \(\vec{r}\) = Richtungsvektor, \(t\) = Parameter
Lagebeziehungen im Raum
Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es vier mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden:
- Identisch: Die Geraden sind deckungsgleich
- Parallel: Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt, aber gleiche Richtung
- Schneidend: Die Geraden haben genau einen Schnittpunkt
- Windschief: Die Geraden haben keinen Schnittpunkt und sind nicht parallel (nur in R³ möglich!)
Neu in R³: Windschiefe Geraden gibt es nur im dreidimensionalen Raum. In der Ebene (\(\mathbb{R}^2\)) gibt es diesen Fall nicht!
Abstände berechnen
Im Raum kann man verschiedene Abstände berechnen:
- Abstand Punkt-Gerade: Mit dem Kreuzprodukt
- Abstand windschiefer Geraden: Mit der Lotfußpunkt-Methode oder dem Spatprodukt