Die Schnittwinkelformel

Wenn sich zwei Geraden mit den Richtungsvektoren \(\vec{r}_1\) und \(\vec{r}_2\) schneiden, berechnet man den Schnittwinkel \(\alpha\) mit:

Schnittwinkel zweier Geraden
\(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2|}{|\vec{r}_1| \cdot |\vec{r}_2|}\)

Durch die Betragsstriche im Zähler erhält man immer den spitzen Winkel (\(0° \leq \alpha \leq 90°\)).

Warum Betragsstriche?

Zwei sich schneidende Geraden bilden immer zwei Winkelpaare: einen spitzen und einen stumpfen Winkel (oder zwei rechte Winkel). Per Konvention meint man mit dem „Schnittwinkel" immer den spitzen Winkel. Die Betragsstriche im Zähler stellen sicher, dass \(\cos(\alpha) \geq 0\) und damit \(\alpha \leq 90°\).

Schritt-für-Schritt-Berechnung

Beispiel: Schnittwinkel berechnen

Berechne den Schnittwinkel der Geraden mit den Richtungsvektoren \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

1
Skalarprodukt: \(\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 2 - 3 = -1\)
2
Beträge: \(|\vec{r}_1| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\), \(|\vec{r}_2| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
3
\(\cos(\alpha) = \frac{|-1|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}\)
4
\(\alpha = \arccos\!\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \approx 81{,}9°\)

Senkrechte Geraden

Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ist:

Orthogonalitätsbedingung
\(g \perp h \iff \vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0\)

Der Schnittwinkel beträgt dann genau \(90°\).

Beispiel: Senkrechte Geraden prüfen

Sind die Geraden mit \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) senkrecht?

1
\(\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0\)

Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Geraden senkrecht aufeinander. ✓

Zusammenhang mit der Steigung

Wenn die Geraden in der Form \(y = k_1 x + d_1\) und \(y = k_2 x + d_2\) gegeben sind, kann man den Schnittwinkel auch über die Steigungen berechnen:

Schnittwinkel über Steigungen
\(\tan(\alpha) = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 \cdot k_2}\right|\)

Achtung: Diese Formel gilt nur für \(k_1 \cdot k_2 \neq -1\). Für \(k_1 \cdot k_2 = -1\) sind die Geraden senkrecht.

Tipp: Zwei Geraden mit den Steigungen \(k_1\) und \(k_2\) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn \(k_1 \cdot k_2 = -1\) gilt, also \(k_2 = -\frac{1}{k_1}\).

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Stehen die Geraden mit den Richtungsvektoren \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) senkrecht aufeinander?

Aufgabe 2 Mittel

Wie groß ist der Schnittwinkel der Geraden mit \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 3 Mittel

Die Geraden \(y = 2x + 1\) und \(y = -\frac{1}{2}x + 3\) schneiden sich. Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 4 Schwer

Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen den Geraden mit \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}\) und \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)?

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