Die Parameterdarstellung

Eine Gerade \(g\) in \(\mathbb{R}^2\) wird durch die Parameterdarstellung beschrieben:

Parameterdarstellung einer Geraden
\(g: X = P + t \cdot \vec{r}, \quad t \in \mathbb{R}\)

oder komponentenweise: \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}\)

Die Bestandteile

  • \(P\): Stützpunkt (Aufpunkt) — ein bekannter Punkt auf der Geraden
  • \(\vec{r}\): Richtungsvektor — gibt die Richtung der Geraden an
  • \(t\): Parameter — durchläuft alle reellen Zahlen
  • \(X\): Allgemeiner Punkt auf der Geraden

Bedeutung des Parameters t

Der Parameter \(t\) bestimmt, welcher Punkt auf der Geraden gemeint ist:

  • \(t = 0\): Man erhält den Stützpunkt \(P\)
  • \(t = 1\): Man geht vom Stützpunkt genau einmal den Richtungsvektor entlang
  • \(t > 0\): Punkte „vor" dem Stützpunkt (in Richtung \(\vec{r}\))
  • \(t < 0\): Punkte „hinter" dem Stützpunkt (gegen die Richtung \(\vec{r}\))
Beispiel: Punkte auf einer Geraden berechnen

Gegeben: \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Berechne die Punkte für \(t = 0, 1, 2, -1\).

1
\(t = 0\): \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow (1|2)\)
2
\(t = 1\): \(X = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow (4|3)\)
3
\(t = 2\): \(X = \begin{pmatrix} 1 + 6 \\ 2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} \Rightarrow (7|4)\)
4
\(t = -1\): \(X = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow (-2|1)\)

Gerade aus zwei Punkten aufstellen

Hat man zwei Punkte \(A\) und \(B\), kann man die Parameterdarstellung aufstellen:

Gerade durch zwei Punkte
\(g: X = A + t \cdot \overrightarrow{AB}\)

Der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor: \(\overrightarrow{AB} = B - A\)

Beispiel: Gerade durch zwei Punkte

Stelle die Parameterdarstellung der Geraden durch \(A(2|1)\) und \(B(5|7)\) auf.

1
Richtungsvektor: \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\)
2
\(g: X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\)

Umrechnung: Parameterform und y = kx + d

Man kann zwischen der Parameterdarstellung und der expliziten Form \(y = kx + d\) umrechnen:

Von Parameterform zu y = kx + d

  1. Schreibe die zwei Komponentengleichungen auf: \(x = p_1 + t \cdot r_1\) und \(y = p_2 + t \cdot r_2\)
  2. Löse die erste Gleichung nach \(t\) auf: \(t = \frac{x - p_1}{r_1}\)
  3. Setze in die zweite Gleichung ein und vereinfache
Beispiel: Umrechnung

Gegeben: \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Finde \(y = kx + d\).

1
\(x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2}\)
2
\(y = 3 + 4t = 3 + 4 \cdot \frac{x-1}{2} = 3 + 2(x-1) = 2x + 1\)
3
Ergebnis: \(y = 2x + 1\)

Tipp: Die Parameterdarstellung einer Geraden ist nicht eindeutig! Man kann verschiedene Stützpunkte und Vielfache des Richtungsvektors wählen und erhält trotzdem dieselbe Gerade.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welcher Punkt liegt auf der Geraden \(g: X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) für \(t = 2\)?

Aufgabe 2 Mittel

Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden durch \(A(1|4)\) und \(B(3|0)\)?

Aufgabe 3 Mittel

Liegt der Punkt \(Q(7|5)\) auf der Geraden \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 4 Schwer

Die Gerade \(g: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) wird in die Form \(y = kx + d\) umgeschrieben. Wie lautet die Gleichung?

Aufgabe 5 Schwer

Welche der folgenden Parameterdarstellungen beschreibt dieselbe Gerade wie \(g: X = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)?

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