Was ist ein Normalvektor?

Ein Normalvektor \(\vec{n}\) einer Geraden steht senkrecht (orthogonal) auf dem Richtungsvektor der Geraden.

Normalvektor bestimmen
\(\text{Wenn } \vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}, \text{ dann } \vec{n} = \begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} \text{ oder } \vec{n} = \begin{pmatrix} r_2 \\ -r_1 \end{pmatrix}\)

Man vertauscht die Komponenten und ändert ein Vorzeichen.

Beispiel: Normalvektor bestimmen

Gegeben ist der Richtungsvektor \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Finde einen Normalvektor.

1
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
2
Probe: \(\vec{r} \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -6 + 6 = 0\) ✓

Die Normalvektorgleichung

Eine Gerade durch den Punkt \(P\) mit Normalvektor \(\vec{n}\) wird beschrieben durch:

Normalvektordarstellung
\(\vec{n} \cdot (X - P) = 0\)

Ein Punkt \(X\) liegt genau dann auf der Geraden, wenn der Vektor \(\overrightarrow{PX}\) senkrecht auf \(\vec{n}\) steht.

Ausmultipliziert ergibt sich die allgemeine Geradengleichung:

Allgemeine Geradengleichung
\(n_1 \cdot x + n_2 \cdot y = c\)

mit \(c = n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 = \vec{n} \cdot \vec{OP}\)

Beispiel: Normalvektorgleichung aufstellen

Gerade durch \(P(2|1)\) mit Normalvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{n} \cdot (X - P) = 0\): \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix} = 0\)
2
\(3(x-2) + (-1)(y-1) = 0\)
3
\(3x - 6 - y + 1 = 0 \Rightarrow 3x - y = 5\)

Umrechnung zwischen den Darstellungen

Von Parameterform zur Normalvektorform

  1. Lies den Richtungsvektor \(\vec{r}\) und den Stützpunkt \(P\) ab
  2. Bestimme einen Normalvektor: \(\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} = \begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix}\)
  3. Stelle die Gleichung auf: \(\vec{n} \cdot (X - P) = 0\)

Von Normalvektorform zur Parameterform

  1. Lies den Normalvektor \(\vec{n}\) und den Stützpunkt \(P\) ab
  2. Bestimme einen Richtungsvektor: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r} = \begin{pmatrix} -n_2 \\ n_1 \end{pmatrix}\)
  3. Schreibe die Parameterform: \(X = P + t \cdot \vec{r}\)

Zusammenhang mit y = kx + d

Die allgemeine Geradengleichung \(n_1 x + n_2 y = c\) ist eng mit \(y = kx + d\) verwandt:

Wenn \(n_2 \neq 0\), kann man umformen: \(y = -\frac{n_1}{n_2} x + \frac{c}{n_2}\), also \(k = -\frac{n_1}{n_2}\) und \(d = \frac{c}{n_2}\).

Tipp: Der Normalvektor der Geraden \(y = kx + d\) ist einfach \(\vec{n} = \begin{pmatrix} k \\ -1 \end{pmatrix}\) (oder jedes Vielfache davon). Das sieht man, wenn man die Gleichung als \(kx - y + d = 0\) schreibt.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welcher Vektor ist ein Normalvektor zum Richtungsvektor \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 2 Mittel

Wie lautet die allgemeine Geradengleichung für die Gerade durch \(P(1|2)\) mit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 3 Mittel

Die Gerade \(g\) hat die Parameterdarstellung \(X = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Wie lautet die Normalvektorgleichung?

Aufgabe 4 Schwer

Wie lautet ein Normalvektor der Geraden \(y = 3x - 2\)?

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