Die drei Fälle

Zwei Geraden \(g\) und \(h\) in \(\mathbb{R}^2\) können in genau einer der folgenden Beziehungen stehen:

Mögliche Lagebeziehungen

  • Schneidend: Die Geraden haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
  • Parallel: Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt (gleiche Richtung, aber versetzt)
  • Identisch: Die Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte (sie sind dieselbe Gerade)

Entscheidung über Richtungsvektoren

Der erste Schritt ist immer: Sind die Richtungsvektoren kollinear (parallel)?

Prüfschema

1. Prüfe: Ist \(\vec{r}_g = k \cdot \vec{r}_h\) für ein \(k \in \mathbb{R}\)?

Nein → Die Geraden schneiden sich

Ja → Prüfe weiter: Liegt der Stützpunkt von \(h\) auf \(g\)?

Ja → Die Geraden sind identisch

Nein → Die Geraden sind echt parallel

Beispiel: Parallele Geraden erkennen

\(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(h: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\)

1
Richtungsvektoren: \(\vec{r}_h = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{r}_g\) → kollinear ✓
2
Liegt \((0|1)\) auf \(g\)? \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) → \(t = -\frac{1}{2}\) aus der 1. Gl., aber \(t = -\frac{1}{3}\) aus der 2. Gl. → Widerspruch!
3
Die Geraden sind echt parallel.

Schnittpunkt berechnen

Wenn die Geraden sich schneiden, findet man den Schnittpunkt durch Gleichsetzen:

Schnittpunkt berechnen
\(P_g + t \cdot \vec{r}_g = P_h + s \cdot \vec{r}_h\)

Dies ergibt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten (\(t\) und \(s\)).

Beispiel: Schnittpunkt berechnen

\(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(h: X = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

1
Gleichsetzen: \(\begin{pmatrix} 1 + 2t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + s \\ 4 - s \end{pmatrix}\)
2
Gleichungssystem: (I) \(1 + 2t = 3 + s\) und (II) \(t = 4 - s\)
3
Aus (II): \(s = 4 - t\). In (I): \(1 + 2t = 3 + 4 - t \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2\)
4
Schnittpunkt: \(X = \begin{pmatrix} 1 + 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\), also \(S(5|2)\)

Zusammenfassung

Lagebeziehung Richtungsvektoren Gemeinsame Punkte
Schneidend Nicht kollinear Genau 1
Parallel Kollinear 0
Identisch Kollinear Unendlich viele

Tipp: Kollinearität der Richtungsvektoren prüfst du am schnellsten mit der Bedingung \(r_{1g} \cdot r_{2h} = r_{2g} \cdot r_{1h}\) (Kreuzprodukt-Bedingung).

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\). Was kann man über die Lagebeziehung sagen?

Aufgabe 2 Mittel

Welche Lagebeziehung haben \(g: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(h: X = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 3 Mittel

Berechne den Schnittpunkt von \(g: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(h: X = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Schwer

Für welchen Wert von \(a\) sind die Geraden \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ a \end{pmatrix}\) und \(h: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) parallel?

Aufgabe 5 Schwer

Welche Lagebeziehung haben \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(h: X = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\)?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 5 richtig