Was ist der Abstand?

Der Abstand eines Punktes \(Q\) von einer Geraden \(g\) ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Diese Strecke steht immer senkrecht auf der Geraden. Den Punkt, an dem die Senkrechte die Gerade trifft, nennt man Lotfußpunkt \(F\).

Geometrische Idee

Der Abstand \(d\) ist die Länge des Lots von \(Q\) auf \(g\). Der Lotfußpunkt \(F\) ist der Punkt auf \(g\), der \(Q\) am nächsten liegt.

Die Abstandsformel

Ist die Gerade in der Form \(\vec{n} \cdot X = c\) gegeben (mit Normalvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\) und \(c = \vec{n} \cdot P\)), dann gilt:

Abstand Punkt–Gerade (mit Normalvektor)
\(d(Q, g) = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ}|}{|\vec{n}|} = \frac{|n_1 \cdot q_1 + n_2 \cdot q_2 - c|}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2}}\)

wobei \(P\) ein beliebiger Punkt auf \(g\) ist

Beispiel: Abstand berechnen

Berechne den Abstand des Punktes \(Q(4|3)\) von der Geraden \(g: 3x + 4y = 10\).

1
Normalvektor: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(c = 10\)
2
Einsetzen: \(d = \frac{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|12 + 12 - 10|}{\sqrt{9 + 16}}\)
3
\(d = \frac{|14|}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5} = 2{,}8\)

Abstand bei Parameterdarstellung

Ist die Gerade in Parameterform \(g: X = P + t \cdot \vec{r}\) gegeben, bestimme zuerst einen Normalvektor und dann den Abstand:

Beispiel: Abstand bei Parameterdarstellung

Berechne den Abstand von \(Q(5|1)\) zur Geraden \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
Normalvektor: \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
2
\(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\)
3
\(\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = (-1) \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = -4 - 2 = -6\)
4
\(d = \frac{|-6|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)

Lotfußpunkt berechnen

Der Lotfußpunkt \(F\) ist der Punkt auf der Geraden, der dem Punkt \(Q\) am nächsten liegt. Um ihn zu berechnen:

Lotfußpunkt
\(t_F = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{r}}{|\vec{r}|^2}\), dann \(F = P + t_F \cdot \vec{r}\)

Man projiziert den Vektor \(\overrightarrow{PQ}\) auf den Richtungsvektor der Geraden.

Beispiel: Lotfußpunkt berechnen

Finde den Lotfußpunkt von \(Q(5|1)\) auf \(g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
\(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(t_F = \frac{4 \cdot 2 + (-1) \cdot 1}{2^2 + 1^2} = \frac{8 - 1}{5} = \frac{7}{5}\)
3
\(F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{7}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \frac{14}{5} \\ 2 + \frac{7}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{19}{5} \\ \frac{17}{5} \end{pmatrix}\)

Der Lotfußpunkt ist \(F\!\left(\frac{19}{5} \middle| \frac{17}{5}\right)\).

Tipp: Zur Probe kann man prüfen, ob \(\overrightarrow{FQ}\) senkrecht auf \(\vec{r}\) steht, d.h. ob \(\overrightarrow{FQ} \cdot \vec{r} = 0\) gilt.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie groß ist der Abstand des Punktes \(Q(0|0)\) von der Geraden \(3x + 4y = 15\)?

Aufgabe 2 Mittel

Wie groß ist der Abstand des Punktes \(Q(3|4)\) von der Geraden \(x - y = 0\) (also \(y = x\))?

Aufgabe 3 Mittel

Der Punkt \(Q(1|7)\) hat den Abstand 0 von einer Geraden. Was bedeutet das?

Aufgabe 4 Schwer

Wie groß ist der Abstand des Punktes \(Q(2|6)\) von der Geraden \(g: X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)?

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