Geraden mit Vektoren beschreiben
Eine Gerade in der Ebene lässt sich auf verschiedene Weisen beschreiben. Die aus der Unterstufe bekannte Form \(y = kx + d\) ist nur eine Möglichkeit. In der Vektorrechnung verwenden wir:
- Parameterdarstellung: \(X = P + t \cdot \vec{r}\) — ein Punkt plus ein Parameter mal Richtungsvektor
- Normalvektordarstellung: \(\vec{n} \cdot (X - P) = 0\) — über den Normalvektor
Vorteil der Vektordarstellung: Sie funktioniert auch für senkrechte Geraden (wo \(y = kx + d\) versagt) und lässt sich leicht auf höhere Dimensionen erweitern.
Was kann man mit Geraden machen?
Typische Aufgabenstellungen bei Geraden im R²:
- Geradengleichung aufstellen: Aus zwei Punkten oder einem Punkt und einem Richtungsvektor
- Lagebeziehungen: Sind zwei Geraden parallel, identisch oder schneiden sie sich?
- Schnittwinkel: Unter welchem Winkel treffen sich zwei Geraden?
- Abstände: Wie weit ist ein Punkt von einer Geraden entfernt?
Zusammenhang der Darstellungen
Der Richtungsvektor \(\vec{r}\) und der Normalvektor \(\vec{n}\) einer Geraden stehen immer senkrecht aufeinander:
Zusammenhang
\(\vec{r} \cdot \vec{n} = 0\)
Wenn \(\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}\), dann ist z.B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix}\) ein Normalvektor.