Die drei Lagebeziehungen

Gegeben: Gerade \(g: \vec{X} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) und Ebene \(E: ax + by + cz = d\) mit Normalvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\).

Die drei Fälle

  • Schneidend: \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\) → genau ein Schnittpunkt
  • Parallel: \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und Aufpunkt liegt nicht in \(E\)
  • In der Ebene: \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und Aufpunkt liegt in \(E\)

Systematisches Vorgehen

Schritt-für-Schritt

1. Berechne \(\vec{n} \cdot \vec{r}\)

2a. Falls \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\): Gerade in Ebenengleichung einsetzen → \(t\) bestimmen → Schnittpunkt

2b. Falls \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\): Aufpunkt in Ebenengleichung einsetzen → parallel oder in der Ebene

Fall: Schneidend

Wenn \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\), schneidet die Gerade die Ebene. Den Schnittpunkt findet man, indem man die Geradengleichung in die Koordinatenform einsetzt:

Beispiel: Schnittpunkt berechnen

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(E: x + 2y + z = 5\)

1
Prüfe: \(\vec{n} \cdot \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 1 + 2 - 1 = 2 \neq 0\) → schneidend
2
Einsetzen: \((1+t) + 2(0+t) + (2-t) = 5\)
3
\(1 + t + 2t + 2 - t = 5 \implies 3 + 2t = 5 \implies t = 1\)
4
Schnittpunkt: \(S = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 0+1 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), also \(S(2|1|1)\)

Fall: Parallel oder in der Ebene

Beispiel: Parallele Gerade

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(E: x + y + z = 3\)

1
\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 0\) → parallel oder in der Ebene
2
Aufpunkt prüfen: \(1 + 0 + 0 = 1 \neq 3\) → parallel (nicht in der Ebene)
Beispiel: Gerade in der Ebene

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(E: x + y + z = 3\)

1
\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 1 + 0 - 1 = 0\) → parallel oder in der Ebene
2
Aufpunkt prüfen: \(1 + 1 + 1 = 3\) ✓ → Gerade liegt in der Ebene

Schnittwinkel

Der Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen Gerade und Ebene berechnet sich über:

Schnittwinkel Gerade – Ebene
\(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{r}|}\)

Achtung: Hier wird \(\sin\) verwendet (nicht \(\cos\)), da \(\alpha\) der Winkel zur Ebene ist, nicht zum Normalvektor!

Tipp: Der Winkel zwischen Gerade und Normalvektor ist das Komplement zum Schnittwinkel: \(\alpha + \beta = 90°\). Deshalb \(\sin\) statt \(\cos\).

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie prüft man, ob eine Gerade parallel zu einer Ebene ist?

Aufgabe 2 Mittel

Bestimme die Lagebeziehung: \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(E: z = 3\).

Aufgabe 3 Mittel

Finde den Schnittpunkt von \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(E: x + y + z = 6\).

Aufgabe 4 Schwer

Welche Lagebeziehung haben \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(E: 2x + y + 3z = 5\)?

Aufgabe 5 Schwer

Unter welchem Winkel schneidet die Gerade \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) die Ebene \(E: z = 0\)?

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