Die drei Lagebeziehungen

Gegeben zwei Ebenen in Koordinatenform:

\(E_1: a_1x + b_1y + c_1z = d_1\) und \(E_2: a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)

Übersicht

  • Parallel: Normalvektoren kollinear (\(\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2\)), aber \(d_1 \neq k \cdot d_2\)
  • Identisch: Normalvektoren kollinear und \(d_1 = k \cdot d_2\)
  • Schneidend: Normalvektoren nicht kollinear → Schnittgerade

Systematisches Vorgehen

Schritt-für-Schritt

1. Prüfe, ob die Normalvektoren kollinear sind: \(\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2\)?

2a. Falls ja: Prüfe ob \(d_1 = k \cdot d_2\) → identisch oder parallel

2b. Falls nein: Gleichungssystem lösen → Schnittgerade bestimmen

Parallele und identische Ebenen

Beispiel: Parallele Ebenen

\(E_1: 2x + y - z = 3\) und \(E_2: 4x + 2y - 2z = 8\)

1
\(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{n}_1\) → kollinear
2
Prüfe: \(d_2 = 8 \neq 2 \cdot 3 = 6\) → parallel (nicht identisch)
Beispiel: Identische Ebenen

\(E_1: x + y + z = 3\) und \(E_2: 2x + 2y + 2z = 6\)

1
\(\vec{n}_2 = 2 \cdot \vec{n}_1\) → kollinear, mit \(k = 2\)
2
\(d_2 = 6 = 2 \cdot 3 = k \cdot d_1\) → identisch

Schnittgerade bestimmen

Wenn die Normalvektoren nicht kollinear sind, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Diese Schnittgerade berechnet man durch Lösen des Gleichungssystems:

Beispiel: Schnittgerade berechnen

\(E_1: x + y = 2\) und \(E_2: x + z = 3\)

1
Normalvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) → nicht kollinear
2
Setze \(z = t\) (freier Parameter). Aus \(E_2\): \(x = 3 - t\). Aus \(E_1\): \(y = 2 - x = 2 - (3 - t) = t - 1\)
3
\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Tipp: Den Richtungsvektor der Schnittgeraden kann man auch über das Kreuzprodukt der Normalvektoren berechnen: \(\vec{r} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\). Dann braucht man nur noch einen Punkt auf der Schnittgeraden.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalvektoren:

Schnittwinkel zweier Ebenen
\(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\)

Der Betrag sorgt dafür, dass man den spitzen Winkel erhält.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welche Lagebeziehung haben \(E_1: x + y + z = 1\) und \(E_2: 3x + 3y + 3z = 3\)?

Aufgabe 2 Mittel

Welche Lagebeziehung haben \(E_1: x + y = 1\) und \(E_2: x - y = 1\)?

Aufgabe 3 Schwer

Bestimme den Richtungsvektor der Schnittgeraden von \(E_1: x + y = 2\) und \(E_2: y + z = 3\) über das Kreuzprodukt der Normalvektoren.

Aufgabe 4 Schwer

Unter welchem Winkel schneiden sich \(E_1: z = 0\) und \(E_2: x = 0\)?

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