Die Abstandsformel

Der Abstand eines Punktes \(Q(x_0 | y_0 | z_0)\) von der Ebene \(E: ax + by + cz = d\) beträgt:

Abstand Punkt – Ebene
\(d(Q, E) = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

Zähler: Einsetzen des Punktes in die Ebenengleichung (Betrag!). Nenner: Betrag des Normalvektors.

Beispiel: Abstand berechnen

Berechne den Abstand von \(Q(1|2|3)\) zur Ebene \(E: 2x + 2y + z = 1\).

1
Zähler: \(|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 1| = |2 + 4 + 3 - 1| = |8| = 8\)
2
Nenner: \(\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\)
3
\(d = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\)

Hesse-Normalform

Die Hesse-Normalform (HNF) ist eine normierte Form der Ebenengleichung, bei der der Normalvektor die Länge 1 hat:

Hesse-Normalform
\(E: \frac{ax + by + cz - d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 0\)

oder kurz: \(\vec{n}_0 \cdot \vec{X} = d_0\) mit \(\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)

Der Vorteil der HNF: Den Abstand eines Punktes erhält man einfach durch Einsetzen und Betragnahme:

Abstand über HNF
\(d(Q, E) = \left|\frac{ax_0 + by_0 + cz_0 - d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right|\)

Ohne Betrag: Orientierter Abstand

Lässt man den Betrag im Zähler weg, erhält man den orientierten Abstand. Dieser ist positiv, wenn der Punkt auf der Seite des Normalvektors liegt, und negativ auf der anderen Seite. Das ist nützlich, um zu bestimmen, auf welcher Seite der Ebene ein Punkt liegt.

Herleitung der Formel

Die Abstandsformel lässt sich aus der Vektorrechnung herleiten:

  1. Der Abstand ist die Projektion des Verbindungsvektors \(\vec{PQ}\) auf den Normalvektor
  2. Projektion: \(d = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\)
  3. Da \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{q} - \vec{n} \cdot \vec{p} = (ax_0 + by_0 + cz_0) - d\)
Beispiel: Abstand von Koordinatenebene

Berechne den Abstand von \(Q(3|4|5)\) zur \(xy\)-Ebene (\(z = 0\)).

1
\(E: 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z = 0\), also \(a = 0\), \(b = 0\), \(c = 1\), \(d = 0\)
2
\(d(Q, E) = \frac{|0 + 0 + 5 - 0|}{\sqrt{0 + 0 + 1}} = \frac{5}{1} = 5\)

Der Abstand ist einfach der Betrag der \(z\)-Koordinate. Das ist plausibel!

Abstand paralleler Ebenen

Den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnet man, indem man einen beliebigen Punkt der einen Ebene in die Abstandsformel der anderen einsetzt:

Abstand paralleler Ebenen
\(d(E_1, E_2) = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

Voraussetzung: Beide Ebenen haben denselben Normalvektor \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)

Beispiel: Abstand paralleler Ebenen

\(E_1: x + 2y + 2z = 3\) und \(E_2: x + 2y + 2z = 9\)

1
\(d = \frac{|3 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{3} = 2\)

Tipp: Wenn die Ebenen verschiedene Normalvektoren haben (aber trotzdem parallel sind, weil \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\)), muss man zuerst eine der Ebenen so umschreiben, dass beide denselben Normalvektor haben.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne den Abstand von \(Q(0|0|4)\) zur Ebene \(E: z = 0\) (xy-Ebene).

Aufgabe 2 Mittel

Berechne den Abstand von \(Q(1|1|1)\) zur Ebene \(E: x + y + z = 6\).

Aufgabe 3 Schwer

Berechne den Abstand von \(Q(3|0|4)\) zur Ebene \(E: 2x - y + 2z = 1\).

Aufgabe 4 Schwer

Wie groß ist der Abstand der parallelen Ebenen \(E_1: 2x + y - 2z = 1\) und \(E_2: 2x + y - 2z = 7\)?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 4 richtig