Winkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel \(\alpha\) zweier Geraden mit den Richtungsvektoren \(\vec{v_1}\) und \(\vec{v_2}\) berechnet sich über das Skalarprodukt:

Schnittwinkel Gerade–Gerade
\(\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\)

Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass \(\alpha \in [0°; 90°]\) (spitzer Schnittwinkel).

Beispiel: Winkel zwischen zwei Geraden

Berechne den Schnittwinkel der Geraden mit \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1\)
2
\(|\vec{v_1}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{v_2}| = \sqrt{2}\)
3
\(\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60°\)

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Winkel zwischen einer Geraden (Richtungsvektor \(\vec{v}\)) und einer Ebene (Normalenvektor \(\vec{n}\)) berechnet sich mit der Sinusfunktion:

Schnittwinkel Gerade–Ebene
\(\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}\)

Hier wird \(\sin\) statt \(\cos\) verwendet, da der Winkel zwischen Gerade und Ebene das Komplement zum Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor ist.

Beispiel: Winkel Gerade–Ebene

Berechne den Schnittwinkel der Geraden mit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und der Ebene mit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 + 0 + 1 = 1\), \(|\vec{v}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{n}| = 1\)
2
\(\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \alpha \approx 35{,}26°\)

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren:

Schnittwinkel Ebene–Ebene
\(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

Der Betrag im Zähler liefert den spitzen Schnittwinkel \(\alpha \in [0°; 90°]\).

Beispiel: Winkel zwischen zwei Ebenen

Berechne den Schnittwinkel der Ebenen \(E_1: x + y = 2\) und \(E_2: y + z = 3\).

1
\(\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 + 1 + 0 = 1\), \(|\vec{n_1}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{n_2}| = \sqrt{2}\)
3
\(\cos \alpha = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60°\)

Zusammenfassung

Gerade–Gerade: \(\cos \alpha\) mit Richtungsvektoren

Gerade–Ebene: \(\sin \alpha\) mit Richtungsvektor und Normalenvektor

Ebene–Ebene: \(\cos \alpha\) mit Normalenvektoren

Tipp: Der Betrag im Zähler ist entscheidend! Er stellt sicher, dass immer der spitze Schnittwinkel berechnet wird (zwischen 0° und 90°).

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welche Funktion verwendet man beim Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene?

Aufgabe 2 Mittel

Berechne den Schnittwinkel der Geraden mit \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 3 Mittel

Unter welchem Winkel schneidet die Gerade mit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) die Ebene \(E: z = 0\)?

Aufgabe 4 Schwer

Berechne den Schnittwinkel der Ebenen \(E_1: x + y + z = 1\) und \(E_2: x - y = 2\).

Aufgabe 5 Schwer

Unter welchem Winkel schneidet die Gerade \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) die Ebene \(E: x + y - z = 5\)?

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