Was sind windschiefe Geraden?

Zwei Geraden im \(\mathbb{R}^3\) heißen windschief, wenn sie:

  • sich nicht schneiden (keinen gemeinsamen Punkt haben)
  • nicht parallel sind (verschiedene Richtungen haben)

Wichtig

Windschiefe Geraden gibt es nur im \(\mathbb{R}^3\) (oder höherdimensionalen Räumen). In der Ebene (\(\mathbb{R}^2\)) schneiden sich nicht-parallele Geraden immer.

Die Abstandsformel

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:

\(g_1: \vec{X} = \vec{A_1} + s \cdot \vec{v_1}\) und \(g_2: \vec{X} = \vec{A_2} + t \cdot \vec{v_2}\)

Abstand windschiefer Geraden
\(d(g_1, g_2) = \frac{|\vec{n} \cdot (\vec{A_2} - \vec{A_1})|}{|\vec{n}|} \quad \text{mit} \quad \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}\)

\(\vec{n}\) = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren (steht senkrecht auf beiden Geraden)

Vorgehensweise

Schritt für Schritt

1. Berechne den Normalenvektor: \(\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}\)

2. Berechne den Verbindungsvektor: \(\vec{A_2} - \vec{A_1}\)

3. Berechne das Skalarprodukt: \(\vec{n} \cdot (\vec{A_2} - \vec{A_1})\)

4. Berechne den Betrag: \(|\vec{n}|\)

5. Setze in die Formel ein

Beispiel: Abstand windschiefer Geraden

Berechne den Abstand der Geraden \(g_1: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{A_2} - \vec{A_1} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 1 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
3
\(\vec{n} \cdot (\vec{A_2} - \vec{A_1}) = (-1)(-1) + (-1)(1) + (1)(0) = 1 - 1 + 0 = 0\)

Der Abstand ist \(d = 0\) -- die Geraden schneiden sich!

Beispiel: Echte windschiefe Geraden

\(g_1: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(g_2: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

1
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(|\vec{n}| = 1\)
2
\(\vec{A_2} - \vec{A_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{n} \cdot (\vec{A_2} - \vec{A_1}) = 0 + 0 + (-1)(3) = -3\)
3
\(d = \frac{|-3|}{1} = 3\)

Der Abstand beträgt \(d = 3\).

Tipp: Prüfe zuerst, ob die Geraden wirklich windschief sind! Wenn \(\vec{n} = \vec{0}\), sind die Geraden parallel (dann andere Methode verwenden). Wenn \(d = 0\), schneiden sich die Geraden.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welches mathematische Werkzeug wird für die Berechnung des Abstands windschiefer Geraden benötigt?

Aufgabe 2 Mittel

Berechne \(\vec{v_1} \times \vec{v_2}\) mit \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 3 Mittel

Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Was kann man aussagen?

Aufgabe 4 Schwer

Berechne den Abstand der Geraden \(g_1: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 5 Schwer

Die Geraden \(g_1: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind windschief. Wie groß ist ihr Abstand?

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