Abstand Punkt–Ebene - Erklärung & Beispiele

Die Hesse'sche Normalform

Die Hesse'sche Normalform (HNF) einer Ebene verwendet den normierten Normalenvektor:

Hesse'sche Normalform

\(\vec{n}_0 \cdot (\vec{X} - \vec{A}) = 0 \quad \text{mit} \quad \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)

\(\vec{n}_0\) ist der Einheitsnormalenvektor, \(A\) ein Punkt der Ebene.

Abstandsformel

Der Abstand eines Punktes \(P\) von der Ebene \(E\) berechnet sich durch Einsetzen von \(P\) in die HNF:

Abstand Punkt–Ebene

\(d(P, E) = \frac{|\vec{n} \cdot (\vec{P} - \vec{A})|}{|\vec{n}|}\)

\(\vec{n}\) = Normalenvektor, \(A\) = Punkt der Ebene, \(P\) = gegebener Punkt

Ist die Ebene in Koordinatenform \(ax + by + cz = d\) gegeben, so vereinfacht sich die Formel zu:

Abstand mit Koordinatenform

\(d(P, E) = \frac{|a \cdot p_1 + b \cdot p_2 + c \cdot p_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

Beispiel: Abstand mit Normalenvektor

Berechne den Abstand des Punktes \(P(3|1|2)\) von der Ebene \(E: 2x + 2y + z = 10\).

Normalenvektor: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(|\vec{n}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3\)

Einsetzen: \(d = \frac{|2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 10|}{3} = \frac{|6 + 2 + 2 - 10|}{3} = \frac{0}{3} = 0\)

Der Punkt \(P\) liegt auf der Ebene (Abstand = 0).

Beispiel: Abstand berechnen

Berechne den Abstand des Punktes \(Q(1|0|0)\) von der Ebene \(E: 2x - y + 2z = 8\).

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(|\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\)

\(d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 8|}{3} = \frac{|2 - 8|}{3} = \frac{6}{3} = 2\)

Der Abstand beträgt \(d = 2\).

1. Bringe die Ebene in Koordinatenform \(ax + by + cz = d\) (falls nötig).

2. Setze die Koordinaten des Punktes in die Abstandsformel ein.

3. Berechne den Betrag des Zählers und den Betrag des Normalenvektors.

Tipp: Wenn man das Vorzeichen im Zähler (ohne Betrag) betrachtet, erfährt man, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt.

Die Hesse'sche Normalform