Gleichungen mit Sinus
Die Grundgleichung \(\sin(x) = a\) hat Lösungen, wenn \(-1 \leq a \leq 1\):
\(x_2 = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi\)
\(k \in \mathbb{Z}\), \(-1 \leq a \leq 1\)
\(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}\)
Die beiden Grundlösungen im Intervall \([0, 2\pi)\) sind:
- \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) (im 1. Quadranten)
- \(x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) (im 2. Quadranten)
Allgemeine Lösung: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) oder \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Tipp: Nutze den Einheitskreis! Zeichne die waagrechte Gerade \(y = a\) ein. Die Winkel, wo der Einheitskreis diese Gerade schneidet, sind die Lösungen in \([0, 2\pi)\).
Gleichungen mit Cosinus
\(x_2 = -\arccos(a) + 2k\pi\)
\(k \in \mathbb{Z}\), \(-1 \leq a \leq 1\)
\(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\)
Grundlösungen in \([0, 2\pi)\):
- \(x_1 = \frac{2\pi}{3}\) (im 2. Quadranten)
- \(x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\) (im 3. Quadranten)
Gleichungen mit Tangens
Da der Tangens die Periode \(\pi\) hat, gibt es immer nur eine Grundlösung pro Periode:
\(k \in \mathbb{Z}\), \(a \in \mathbb{R}\) beliebig
\(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)
Allgemeine Lösung: \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Also: \(\ldots, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \ldots\)
Komplexere Gleichungen
Bei komplexeren Gleichungen muss man zunächst umformen:
Schritt 1: Umformen: \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)
Schritt 2: Lösen wie oben: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) oder \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
Substitution: Setze \(u = 2x\). Dann: \(\sin(u) = 0\), also \(u = k\pi\).
Rücksubstitution: \(2x = k\pi\), also \(x = \frac{k\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Spezialfall: Keine Lösung
Die Gleichung \(\sin(x) = 2\) hat keine Lösung, da \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\) für alle \(x\). Ebenso hat \(\cos(x) = -3\) keine Lösung.
Übungen
Wie viele Lösungen hat \(\sin(x) = 0\) im Intervall \([0, 2\pi]\)?
Was ist die allgemeine Lösung von \(\cos(x) = 0\)?
Die Gleichung \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) hat im Intervall \([0, 2\pi)\) die Lösungen...
Hat die Gleichung \(\cos(x) = 1{,}5\) eine Lösung?
Wie lautet die allgemeine Lösung von \(\tan(x) = \sqrt{3}\)?