Mechanische Schwingungen
Ein Federpendel oder eine Stimmgabel führt eine harmonische Schwingung aus. Die Auslenkung wird durch eine Sinusfunktion beschrieben:
\(A\) = Amplitude (max. Auslenkung), \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) = Kreisfrequenz, \(\varphi_0\) = Anfangsphase
Zusammenhänge:
- Periode: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) – Dauer einer vollständigen Schwingung
- Frequenz: \(f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\) – Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (in Hertz)
- Amplitude: \(A\) – maximale Auslenkung aus der Ruhelage
Ein Federpendel schwingt mit einer Periode von \(T = 0{,}5\) s und einer Amplitude von 3 cm.
Kreisfrequenz: \(\omega = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \approx 12{,}57\) rad/s
Frequenz: \(f = \frac{1}{0{,}5} = 2\) Hz (2 Schwingungen pro Sekunde)
Funktion: \(s(t) = 3 \cdot \sin(4\pi t)\) cm
Wellen und Schall
Schallwellen und Lichtwellen sind ebenfalls periodische Phänomene:
Schallwelle: Die Auslenkung der Luftteilchen folgt einer Sinusfunktion. Die Frequenz bestimmt die Tonhöhe, die Amplitude die Lautstärke.
- Kammerton A: \(f = 440\) Hz → \(T = \frac{1}{440} \approx 0{,}00227\) s
- Tiefes C: \(f \approx 65\) Hz → \(T \approx 0{,}0154\) s
Ein Ton mit 440 Hz (Kammerton A):
\(p(t) = p_0 \cdot \sin(2\pi \cdot 440 \cdot t) = p_0 \cdot \sin(880\pi \cdot t)\)
In einer Sekunde wiederholt sich die Schwingung 440 Mal!
Überlagerung: Wenn mehrere Töne gleichzeitig erklingen, überlagern sich die Sinuswellen. Ein Akkord ist mathematisch die Summe mehrerer Sinusfunktionen mit verschiedenen Frequenzen.
Saisonale Schwankungen
Viele Größen in Natur und Wirtschaft schwanken periodisch mit einer Jahreslänge. Diese lassen sich gut mit Sinusfunktionen modellieren:
Die Durchschnittstemperatur in Wien schwankt zwischen ca. \(-1°\)C (Januar) und \(21°\)C (Juli). Ein Modell:
\(T(t) = 10 + 11 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{12}(t - 4)\right)\)
Dabei ist \(t\) der Monat (1 = Januar, ..., 12 = Dezember):
- Mittelwert: \(10°\)C (vertikale Verschiebung \(d = 10\))
- Amplitude: \(11°\)C (Schwankung um den Mittelwert)
- Periode: \(T = 12\) Monate
- Phasenverschiebung: \(c = 4\) (Maximum im Juli, Monat 7)
Weitere Beispiele saisonaler Modellierung:
- Sonnenstunden pro Tag
- Wassertemperatur eines Sees
- Stromverbrauch (Heizung im Winter)
- Touristenzahlen
Modellierung: Vorgehen
So erstellst du ein trigonometrisches Modell für reale Daten:
Schritt-für-Schritt:
- Mittelwert \(d\): \(d = \frac{\text{Maximum} + \text{Minimum}}{2}\)
- Amplitude \(a\): \(a = \frac{\text{Maximum} - \text{Minimum}}{2}\)
- Periode \(T\): Aus der Länge eines vollständigen Zyklus → \(b = \frac{2\pi}{T}\)
- Phasenverschiebung \(c\): Bestimme, wo das Maximum liegt, und berechne die Verschiebung
- Funktion: \(f(t) = a \cdot \sin(b(t - c)) + d\)
Die Tide in einem Hafen schwankt zwischen 1,5 m (Niedrigwasser) und 5,5 m (Hochwasser) mit einer Periode von ca. 12,4 Stunden.
\(d = \frac{5{,}5 + 1{,}5}{2} = 3{,}5\) m
\(a = \frac{5{,}5 - 1{,}5}{2} = 2\) m
\(b = \frac{2\pi}{12{,}4} \approx 0{,}507\)
Modell: \(h(t) = 2 \cdot \sin(0{,}507 \cdot t) + 3{,}5\) (wenn Hochwasser bei \(t = \frac{T}{4}\))
Übungen
Ein Pendel schwingt 5 Mal pro Sekunde. Welche Frequenz hat es?
Die Temperatur schwankt zwischen 5°C und 25°C mit Jahresperiode. Welche Amplitude hat das Modell?
Ein Ton hat die Periode \(T = 0{,}002\) s. Welche Frequenz hat er?
Der Wasserstand schwankt zwischen 2 m und 8 m mit einer Periode von 12 Stunden. Welches Modell passt (mit Maximum bei \(t = 3\) h)?