Definition
Eine rationale Funktion ist eine Funktion der Form:
\( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \)
wobei \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynomfunktionen sind und \(q(x) \not\equiv 0\).
Der Definitionsbereich einer rationalen Funktion ist:
\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid q(x) = 0\} \)
Definitionslücken bestimmen
Um die Definitionslücken zu finden, setzt man den Nenner gleich null und löst die Gleichung:
\( f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4} = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)} \)
Nenner null: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) oder \( x = -2 \)
Definitionsbereich: \( \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)
\( f(x) = \frac{3x}{x^2 + 1} \)
Nenner null: \( x^2 + 1 = 0 \) hat keine reelle Lösung!
Definitionsbereich: \( \mathbb{D} = \mathbb{R} \) (keine Definitionslücken)
Polstellen
An einer Polstelle strebt der Funktionswert gegen \(\pm\infty\). Eine Definitionslücke \(x_0\) ist eine Polstelle, wenn der Zähler an dieser Stelle nicht null wird.
\(x_0\) ist Polstelle, wenn \(q(x_0) = 0\) und \(p(x_0) \neq 0\).
\( f(x) = \frac{2}{x - 3} \)
Nenner null bei \(x_0 = 3\), Zähler: \(p(3) = 2 \neq 0\)
Also: \(x_0 = 3\) ist eine Polstelle.
Verhalten: \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty \) und \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \)
Polstellen mit/ohne Vorzeichenwechsel:
- Polstelle mit VZW: Linearfaktor \((x - x_0)\) kommt im Nenner in ungerader Vielfachheit vor. Der Graph geht von \(+\infty\) nach \(-\infty\) (oder umgekehrt).
- Polstelle ohne VZW: Linearfaktor in gerader Vielfachheit. Der Graph geht auf beiden Seiten gegen \(+\infty\) (oder beide gegen \(-\infty\)).
Hebbare Definitionslücken
Eine Definitionslücke ist hebbar, wenn Zähler und Nenner an dieser Stelle beide null werden und man den gemeinsamen Faktor kürzen kann.
\(x_0\) ist hebbare Lücke, wenn \(q(x_0) = 0\) und \(p(x_0) = 0\).
Der Grenzwert \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) existiert und ist endlich.
\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \)
Nenner null bei \(x_0 = 2\), Zähler: \(p(2) = 4 - 4 = 0\)
Kürzen: \( f(x) = x + 2 \) für \( x \neq 2 \)
Grenzwert: \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \)
Die Lücke bei \(x = 2\) ist hebbar mit dem Wert 4.
Tipp: Um zu unterscheiden, ob eine Definitionslücke eine Polstelle oder eine hebbare Lücke ist, faktorisiere Zähler und Nenner und kürze gemeinsame Faktoren. Was übrig bleibt, bestimmt das Verhalten.
Nullstellen rationaler Funktionen
Eine rationale Funktion hat an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle, wenn der Zähler null ist und der Nenner nicht:
\( f(x_0) = 0 \iff p(x_0) = 0 \) und \( q(x_0) \neq 0 \)
\( f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \)
Zähler null bei \(x = 2\) und \(x = -1\)
Aber \(x = -1\) ist auch Nennernullstelle (hebbare Lücke!)
Einzige Nullstelle: \(x = 2\)
Übungen
Was ist der Definitionsbereich von \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 9} \)?
Hat \( f(x) = \frac{x + 5}{x^2 + 1} \) Definitionslücken?
Hat \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \) bei \(x = -1\) eine Polstelle oder eine hebbare Lücke?
Bestimme die Nullstelle(n) von \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3} \).
Die Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} \) hat eine Polstelle und eine hebbare Lücke. Wo liegt die Polstelle?