Was ist indirekte Proportionalität?
Zwei Größen sind indirekt (umgekehrt) proportional, wenn ihr Produkt konstant ist. Wenn die eine Größe größer wird, wird die andere entsprechend kleiner.
\(a\) = Proportionalitätskonstante, es gilt: \(x \cdot f(x) = a\) (Produkt ist konstant)
Kennzeichen der indirekten Proportionalität:
- Das Produkt \(x \cdot y\) ist immer gleich (= \(a\))
- Verdoppelt man \(x\), halbiert sich \(f(x)\)
- Verdreifacht man \(x\), drittelt sich \(f(x)\)
- Die Funktion ist für \(x = 0\) nicht definiert
Der Graph: Die Hyperbel
Der Graph von \(f(x) = \frac{a}{x}\) heißt Hyperbel. Sie besteht aus zwei Ästen:
Eigenschaften der Hyperbel (für \(a > 0\)):
- Für \(x > 0\): Graph im 1. Quadranten, streng monoton fallend
- Für \(x < 0\): Graph im 3. Quadranten, streng monoton fallend
- Punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion)
- Keine Nullstellen (der Graph berührt nie die x-Achse)
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
Beachte: \(x \cdot f(x) = 6\) in jedem Fall!
Asymptotisches Verhalten
Die Hyperbel hat zwei Asymptoten -- Geraden, denen sich der Graph immer weiter annähert, ohne sie zu erreichen:
Senkrechte Asymptote: \(x = 0\) (y-Achse)
Anschaulich:
- Für sehr große \(x\)-Werte wird \(f(x)\) immer kleiner (nähert sich 0)
- Für \(x\)-Werte nahe 0 wird \(|f(x)|\) immer größer (geht gegen \(\pm\infty\))
Alltagsbeispiele
Für eine 120 km lange Strecke gilt: \(t = \frac{120}{v}\) (Zeit = Strecke / Geschwindigkeit)
| Geschwindigkeit \(v\) (km/h) | 60 | 80 | 120 | 240 |
|---|---|---|---|---|
| Zeit \(t\) (h) | 2 | 1,5 | 1 | 0,5 |
Doppelte Geschwindigkeit → halbe Fahrzeit!
Ein Projekt braucht 60 Personentage. Wie viele Tage brauchen \(n\) Arbeiter?
\(t(n) = \frac{60}{n}\)
3 Arbeiter: \(\frac{60}{3} = 20\) Tage. 6 Arbeiter: \(\frac{60}{6} = 10\) Tage.
Doppelt so viele Arbeiter → halb so viele Tage!
Tipp: Um zu prüfen, ob indirekte Proportionalität vorliegt, berechne das Produkt \(x \cdot y\) für verschiedene Wertepaare. Ist es immer gleich → indirekte Proportionalität!
Übungen
Wenn \(f(x) = \frac{12}{x}\), was ist \(f(4)\)?
5 Arbeiter brauchen 12 Tage für ein Projekt. Wie lange brauchen 10 Arbeiter?
Warum ist \(f(x) = \frac{a}{x}\) bei \(x = 0\) nicht definiert?
Bei einer indirekten Proportionalität ist \(f(3) = 8\). Wie lautet die Funktionsgleichung?