Was ist lineare Modellierung?

Bei der linearen Modellierung beschreibst du einen realen Zusammenhang mit einer linearen Funktion \(f(x) = k \cdot x + d\). Dabei musst du:

  1. Die Variablen definieren (Was ist \(x\)? Was ist \(f(x)\)?)
  2. Die Parameter \(k\) (Steigung) und \(d\) (Anfangswert) bestimmen
  3. Prüfen, ob ein lineares Modell überhaupt passt

Wann passt ein lineares Modell? Wenn sich eine Größe gleichmäßig (konstant pro Zeiteinheit oder pro Einheit) verändert. Erkennungsmerkmal: konstante Änderungsrate.

Parameter aus Sachaufgaben bestimmen

In Textaufgaben verstecken sich die Parameter \(k\) und \(d\) in Formulierungen wie "pro", "je", "anfangs", "zu Beginn".

Schlüsselwörter:

  • Steigung \(k\): "pro Stunde", "je Kilometer", "um ... mehr/weniger", "Zunahme/Abnahme von"
  • Anfangswert \(d\): "zu Beginn", "anfangs", "Grundgebühr", "Starttemperatur"
Beispiel 1: Taxifahrt

"Ein Taxi verlangt 3,50 Euro Grundgebühr und 1,80 Euro pro Kilometer."

1
Variable: \(x\) = Kilometer, \(f(x)\) = Kosten in Euro
2
Steigung: \(k = 1{,}80\) Euro/km ("pro Kilometer")
3
Anfangswert: \(d = 3{,}50\) Euro ("Grundgebühr")
4
Modell: \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\)

Frage: Was kostet eine 15 km lange Fahrt? \(f(15) = 1{,}80 \cdot 15 + 3{,}50 = 30{,}50\) Euro.

Beispiel 2: Wassertank

"Ein Wassertank enthält 200 Liter. Durch ein Leck fließen pro Stunde 5 Liter ab."

1
Variable: \(t\) = Zeit in Stunden, \(V(t)\) = Wasservolumen in Litern
2
Steigung: \(k = -5\) L/h (negativ, weil Wasser abfließt!)
3
Anfangswert: \(d = 200\) Liter
4
Modell: \(V(t) = -5t + 200\)

Wann ist der Tank leer? \(V(t) = 0 \Rightarrow t = 40\) Stunden.

Parameter aus Datenpunkten bestimmen

Wenn du zwei Messwerte hast, kannst du die Parameter \(k\) und \(d\) berechnen.

Beispiel: Temperaturverlauf

Um 8:00 Uhr beträgt die Temperatur 12 °C, um 14:00 Uhr 21 °C.

1
Punkte: \(P_1(8|12)\) und \(P_2(14|21)\)
2
Steigung: \(k = \frac{21 - 12}{14 - 8} = \frac{9}{6} = 1{,}5\) °C/Stunde
3
\(d\) berechnen: \(12 = 1{,}5 \cdot 8 + d \Rightarrow d = 0\)
4
Modell: \(T(t) = 1{,}5t\) (mit \(t\) = Uhrzeit)

Grenzen linearer Modelle

Lineare Modelle sind Vereinfachungen der Realität. Sie haben Grenzen, die man kennen muss:

Typische Grenzen:

  • Gültigkeitsbereich: Der Wassertank kann nicht weniger als 0 Liter enthalten! Das Modell gilt nur für \(0 \leq t \leq 40\).
  • Nichtlineare Realität: Die Temperatur steigt nicht den ganzen Tag gleichmäßig an -- abends wird es wieder kühler.
  • Keine negative Werte: Kosten können nicht negativ sein, Entfernungen auch nicht.
  • Modell ≠ Realität: Ein lineares Modell ist eine Näherung, die in einem bestimmten Bereich gut funktioniert.

Tipp: Gib bei Modellierungsaufgaben immer den sinnvollen Definitionsbereich an! z.B. "Das Modell gilt für \(0 \leq x \leq 40\)".

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Ein Handytarif kostet 5 Euro Grundgebühr plus 0,10 Euro pro Minute. Welche Gleichung beschreibt die monatlichen Kosten \(K\) in Abhängigkeit der Gesprächsminuten \(m\)?

Aufgabe 2Mittel

Ein Wassertank enthält zu Beginn 500 Liter. Pro Stunde werden 20 Liter verbraucht. Wann ist der Tank leer?

Aufgabe 3Mittel

Welcher Zusammenhang lässt sich NICHT sinnvoll linear modellieren?

Aufgabe 4Schwer

Bei einem Versuch werden diese Messwerte gemessen: \(P_1(2|11)\), \(P_2(5|20)\). Was ist der Anfangswert \(d\)?

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