Was ist direkte Proportionalität?
Zwei Größen sind direkt proportional, wenn sie immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Wird die eine Größe verdoppelt, verdreifacht, ... so wird auch die andere verdoppelt, verdreifacht, ...
\(k\) = Proportionalitätskonstante (auch Proportionalitätsfaktor)
Kennzeichen der direkten Proportionalität:
- Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = k \cdot x\) (kein \(d\)!)
- Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung \((0|0)\)
- Der Quotient \(\frac{f(x)}{x}\) ist für alle \(x \neq 0\) konstant und gleich \(k\)
Die Proportionalitätskonstante k
Die Konstante \(k\) gibt an, wie stark die beiden Größen zusammenhängen. Man kann \(k\) aus jedem Wertepaar berechnen:
Äpfel kosten 2,50 Euro pro Kilogramm.
Doppelte Menge → doppelter Preis!
Verdopplung und Vervielfachung
Das wichtigste Merkmal der direkten Proportionalität: Wenn du den Eingabewert mit einer Zahl multiplizierst, wird auch der Ausgabewert mit derselben Zahl multipliziert.
z.B.: \(f(2x) = 2 \cdot f(x)\) (Verdopplung)
Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit 60 km/h. Der Weg \(s\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\):
\(s(t) = 60 \cdot t\) (mit \(t\) in Stunden, \(s\) in km)
| \(t\) (h) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(s(t)\) (km) | 60 | 120 | 180 | 240 |
Doppelte Zeit → doppelter Weg. Dreifache Zeit → dreifacher Weg.
Direkte Proportionalität erkennen
Nicht jede lineare Funktion ist direkt proportional! Nur wenn \(d = 0\) ist (also kein y-Achsenabschnitt), liegt direkte Proportionalität vor.
Vergleich:
- \(f(x) = 3x\) → direkt proportional (geht durch den Ursprung)
- \(f(x) = 3x + 2\) → NICHT direkt proportional (y-Achsenabschnitt \(d = 2 \neq 0\))
- \(f(x) = x^2\) → NICHT direkt proportional (nicht linear!)
Tipp: Prüfe bei einer Wertetabelle, ob der Quotient \(\frac{y}{x}\) immer gleich ist. Wenn ja, liegt direkte Proportionalität vor.
Übungen
Welche Funktion beschreibt eine direkte Proportionalität?
Ein Liter Benzin kostet 1,60 Euro. Wie viel kosten 25 Liter?
Bei einer direkt proportionalen Funktion ist \(f(4) = 12\). Wie lautet die Funktionsgleichung?
Wenn \(f(x) = k \cdot x\) und \(f(3) = 7{,}5\), was ist \(f(6)\)?