Der Differenzenquotient
Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche (mittlere) Änderungsrate einer Funktion \(f\) zwischen zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) an.
\(\Delta y\) = Änderung der Funktionswerte, \(\Delta x\) = Änderung der \(x\)-Werte
Graphische Bedeutung: Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante (Verbindungsgerade) durch die Punkte \(P(x_1 | f(x_1))\) und \(Q(x_2 | f(x_2))\).
Konstante Steigung bei linearen Funktionen
Das Besondere an linearen Funktionen: Der Differenzenquotient ist immer gleich, egal welche zwei Punkte man wählt. Er entspricht immer der Steigung \(k\).
Punkte \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\):
Punkte \(x_1 = 0\), \(x_2 = 10\):
In beiden Fällen ergibt sich \(k = 3\) -- die Steigung ist konstant!
Das \(d\) kürzt sich weg, und \((x_2 - x_1)\) kürzt sich ebenfalls.
Differenzenquotient bei nichtlinearen Funktionen
Bei nichtlinearen Funktionen (z.B. \(f(x) = x^2\)) ist der Differenzenquotient nicht konstant -- er hängt davon ab, welche Punkte man wählt.
Zwischen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\):
\(\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4\)
Zwischen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 5\):
\(\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{25 - 4}{3} = 7\)
Die mittlere Änderungsrate ist an verschiedenen Stellen verschieden!
Tipp: Genau das macht lineare Funktionen so besonders: Die gleichbleibende Änderungsrate ist ihr Erkennungsmerkmal. Bei jeder anderen Funktionsart ändert sich die Steigung.
Ausblick: Vom Differenzenquotient zur Ableitung
Der Differenzenquotient ist die Grundlage für eines der wichtigsten Konzepte der Analysis: die Ableitung (Differentialquotient).
Idee: Lässt man den Abstand \(\Delta x\) zwischen den beiden Stellen immer kleiner werden (gegen 0 gehen), erhält man die momentane Änderungsrate an einer Stelle:
\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
Bei einer linearen Funktion \(f(x) = kx + d\) ergibt die Ableitung immer \(f'(x) = k\) -- die Steigung ist ja überall gleich. Bei quadratischen Funktionen und anderen nichtlinearen Funktionen hängt die Ableitung von \(x\) ab.
Zusammenfassung:
- Differenzenquotient: mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten
- Ableitung: momentane Änderungsrate an einem Punkt
- Bei linearen Funktionen sind beide identisch und gleich \(k\)
Übungen
Berechne den Differenzenquotienten von \(f(x) = 2x + 5\) zwischen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\).
Was beschreibt der Differenzenquotient graphisch?
Berechne die mittlere Änderungsrate von \(f(x) = x^2\) zwischen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).
Warum ist der Differenzenquotient bei linearen Funktionen immer konstant?
Die mittlere Änderungsrate von \(f(x) = x^2 + 1\) zwischen \(x = 1\) und \(x = 1 + h\) ist \(2 + h\). Was ergibt sich für \(h \to 0\)?