Grundlegender Vergleich
| Merkmal | Lineares Wachstum | Exponentielles Wachstum |
|---|---|---|
| Funktion | \(f(x) = k \cdot x + d\) | \(f(x) = a \cdot b^x\) |
| Zuwachs | konstant (immer \(+k\)) | proportional zum aktuellen Wert |
| In der Wertetabelle | konstante Differenzen | konstante Quotienten |
| Graph | Gerade | Exponentialkurve |
| Beispiel Alltag | Gehalt mit fixem Zuschlag | Zinseszins |
| Langfristig | wächst gleichmäßig | überholt jedes lineare Wachstum |
Exponentiell: \(\frac{f(x+1)}{f(x)} = b\) (konstant)
Erkennung in der Wertetabelle
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = 3x + 2\) | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
| Differenz | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 |
Die Differenz ist immer 3 – typisch für lineares Wachstum.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x) = 2 \cdot 3^x\) | 2 | 6 | 18 | 54 | 162 | 486 |
| Quotient | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
Der Quotient aufeinanderfolgender Werte ist immer 3 – typisch für exponentielles Wachstum.
Langfristiges Verhalten
Anfangs kann lineares Wachstum größer sein als exponentielles, aber langfristig überholt das exponentielle Wachstum immer:
| \(x\) | \(f(x) = 100x\) | \(g(x) = 2^x\) | Wer ist größer? |
|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 2 | \(f\) |
| 5 | 500 | 32 | \(f\) |
| 10 | 1000 | 1024 | \(g\) |
| 20 | 2000 | 1.048.576 | \(g\) |
Ab \(x = 10\) überholt \(2^x\) die lineare Funktion und wächst dann immer schneller davon.
Mathematisch: Für jede lineare Funktion \(f(x) = kx + d\) und jede Exponentialfunktion \(g(x) = a \cdot b^x\) (mit \(b > 1\) und \(a > 0\)) gibt es einen Wert \(x_0\), ab dem \(g(x) > f(x)\) für alle \(x > x_0\).
Anwendungsbeispiel
Angebot A (linear): 2000 € Startgehalt + 100 € Erhöhung pro Monat
\(f(t) = 2000 + 100t\)
Angebot B (exponentiell): 1500 € Startgehalt + 5 % Erhöhung pro Monat
\(g(t) = 1500 \cdot 1{,}05^t\)
Anfangs ist Angebot A besser, aber nach etwa 18 Monaten überholt Angebot B und wird dann immer lukrativer.
Tipp für die Matura: Um den Schnittpunkt zu finden, setzt man \(f(x) = g(x)\) und löst grafisch oder numerisch. Die Gleichung \(kx + d = a \cdot b^x\) hat keine einfache algebraische Lösung.
Übungen
Die Wertefolge 5, 10, 15, 20, 25 zeigt welches Wachstum?
Welche Eigenschaft ist typisch für exponentielles Wachstum?
Für \(f(x) = 50x\) und \(g(x) = 3^x\): Welche Aussage stimmt?
Ein Konto startet mit 1000 € und wächst um 50 € pro Monat (linear). Ein anderes startet mit 1000 € und wächst um 3 % pro Monat (exponentiell). Nach 2 Jahren (24 Monaten) beträgt der Unterschied ca.: