Formale Definition einer Funktion
Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Zuordnung, die jedem Element \(x\) aus einer Menge \(A\) (der Definitionsmenge) genau ein Element \(y\) aus einer Menge \(B\) (der Zielmenge) zuordnet.
\(A\) = Definitionsmenge, \(B\) = Zielmenge, \(f(x)\) = Funktionswert (Bild von \(x\))
Man unterscheidet zwei Pfeile:
- \(\to\) (Pfeil zwischen Mengen): Gibt an, von welcher Menge in welche Menge abgebildet wird
- \(\mapsto\) (Zuordnungspfeil): Gibt die konkrete Zuordnungsvorschrift an
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2\)
Lies: "Die Funktion \(f\) bildet von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) ab und ordnet jedem \(x\) den Wert \(x^2\) zu."
Definitionsmenge, Zielmenge & Wertemenge
Diese drei Begriffe sind zentral und werden oft verwechselt:
Definitionsmenge \(D\): Alle Werte, die man für \(x\) einsetzen darf (= alle erlaubten Eingabewerte).
Zielmenge (Codomäne): Die Menge, in die abgebildet wird. Oft einfach \(\mathbb{R}\).
Wertemenge \(W\): Die Menge aller tatsächlich angenommenen Funktionswerte. Es gilt immer: \(W \subseteq B\).
Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Bei der Funktion \(f(x) = x^2\) mit Zielmenge \(\mathbb{R}\) ist die Wertemenge nur \(\mathbb{R}_0^+\), weil Quadrate nie negativ sind.
\(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \sqrt{x}\)
Die Wurzelfunktion ist nur für \(x \geq 0\) definiert, daher ist \(D = \mathbb{R}_0^+ = [0, +\infty)\).
Die Wertemenge ist ebenfalls \(W = [0, +\infty)\).
Tipp: Um die Definitionsmenge zu bestimmen, frage dich: "Für welche \(x\)-Werte ist der Funktionsterm nicht definiert?" Typische Einschränkungen: Division durch Null, Wurzel aus negativen Zahlen, Logarithmus von nicht-positiven Zahlen.
Funktion oder nicht? Der Vertikallinientest
Nicht jede Kurve im Koordinatensystem ist der Graph einer Funktion. Das zentrale Kriterium: Jedem x-Wert darf höchstens ein y-Wert zugeordnet sein.
Funktion: \(f(x) = x^2\) -- Jede Vertikale schneidet die Parabel in genau einem Punkt.
Keine Funktion: \(x^2 + y^2 = 1\) (Einheitskreis) -- Eine Vertikale bei \(x = 0\) schneidet den Kreis in zwei Punkten: \((0|1)\) und \((0|-1)\).
Funktion: \(f(x) = |x|\) -- Jede Vertikale schneidet den Betragsgraph in genau einem Punkt.
Achtung: Eine Relation wie \(y^2 = x\) ist keine Funktion von \(x\), denn für \(x = 4\) gibt es zwei \(y\)-Werte: \(y = 2\) und \(y = -2\). Man kann sie aber in zwei Funktionen aufteilen: \(y = \sqrt{x}\) und \(y = -\sqrt{x}\).
Wichtige Beispiele reeller Funktionen
Hier sind einige wichtige Funktionstypen mit ihrer formalen Schreibweise:
| Funktion | Formale Schreibweise | D | W |
|---|---|---|---|
| Lineare Funktion | \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto kx + d\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Quadratfunktion | \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}_0^+\) |
| Wurzelfunktion | \(f: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R},\; x \mapsto \sqrt{x}\) | \(\mathbb{R}_0^+\) | \(\mathbb{R}_0^+\) |
| Kehrwertfunktion | \(f: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) |
Übungen
Was gibt die Schreibweise \(x \mapsto 3x - 1\) an?
Welche Definitionsmenge hat \(f(x) = \frac{1}{x - 2}\)?
Ist der Einheitskreis \(x^2 + y^2 = 1\) der Graph einer Funktion?
Welche Wertemenge hat \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto x^2 + 1\)?