Grundformel
Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum und Zerfall lautet:
\(a\) = Anfangswert, \(b\) = Wachstumsfaktor, \(t\) = Zeit
Wachstum oder Zerfall?
- \(b > 1\): exponentielles Wachstum – die Größe nimmt zu
- \(0 < b < 1\): exponentieller Zerfall – die Größe nimmt ab
Ein Bakterienstamm verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden.
\(f(t) = 500 \cdot 2^t\), wobei \(t\) die Anzahl der Verdopplungsperioden (je 3 Stunden) ist.
Nach 4 Perioden (12 Stunden): \(f(4) = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000\) Bakterien.
Wachstumsfaktor und Wachstumsrate
Der Wachstumsfaktor \(b\) und die Wachstumsrate \(r\) hängen zusammen:
\(r = b - 1\)
Bei Wachstum: \(r > 0\), bei Zerfall: \(r < 0\)
Eine Population wächst jährlich um 5 %. Dann ist \(r = 0{,}05\) und \(b = 1{,}05\).
Formel: \(f(t) = a \cdot 1{,}05^t\)
Ein Stoff zerfällt jährlich um 12 %. Dann ist \(r = -0{,}12\) und \(b = 0{,}88\).
Formel: \(f(t) = a \cdot 0{,}88^t\)
Verdopplungszeit
Die Verdopplungszeit \(t_V\) gibt an, nach welcher Zeit sich der Anfangswert verdoppelt hat:
Gilt für \(b > 1\) (Wachstum)
Eine Population wächst mit dem Faktor \(b = 1{,}03\) pro Jahr.
\(t_V = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} = \frac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4\) Jahre
Die Population verdoppelt sich also etwa alle 23 Jahre.
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit \(t_H\) gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte des Anfangswerts vorhanden ist:
Gilt für \(0 < b < 1\) (Zerfall)
Ein Stoff zerfällt mit dem Faktor \(b = 0{,}95\) pro Stunde.
\(t_H = \frac{\ln(2)}{-\ln(0{,}95)} = \frac{0{,}693}{0{,}0513} \approx 13{,}5\) Stunden
Nach etwa 13,5 Stunden ist noch die Hälfte des Stoffs vorhanden.
Tipp: Bei gegebener Halbwertszeit \(t_H\) kann man den Wachstumsfaktor berechnen: \(b = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/t_H} = 2^{-1/t_H}\).
Anwendungen
Exponentielles Wachstum und Zerfall kommen in vielen Bereichen vor:
| Bereich | Beispiel | Typ |
|---|---|---|
| Biologie | Bakterienwachstum | Wachstum |
| Physik | Radioaktiver Zerfall | Zerfall |
| Medizin | Medikamentenabbau im Körper | Zerfall |
| Wirtschaft | Zinseszins | Wachstum |
| Demographie | Bevölkerungswachstum | Wachstum |
Übungen
Ein Kapital von 1000 € wächst jährlich um 4 %. Wie lautet die Wachstumsfunktion?
Ein Stoff zerfällt jährlich um 10 %. Wie groß ist der Wachstumsfaktor \(b\)?
Die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes beträgt 5 Jahre. Wie viel Prozent sind nach 10 Jahren noch vorhanden?
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 2 Stunden. Zu Beginn sind 200 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 8 Stunden?
Eine Population wächst mit dem Faktor \(b = 1{,}05\) pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat sie sich verdoppelt? (Auf ganze Jahre gerundet)